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上海外国语大学附属中学2024届高三下学期第五次调研考试数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）

A． B． C． D．

2．定义在上的奇函数满足，若，，则（）

A． B．0 C．1 D．2

3．函数的一个单调递增区间是（）

A． B． C． D．

4．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．若集合，，则=（）

A． B． C． D．

6．已知数列中，，()，则等于（）

A． B． C． D．2

7．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（）

A． B． C． D．

8．已知集合，，则为()

A． B． C． D．

9．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上，则直线被截得的弦长为（）

A． B． C． D．

11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）

A． B．

C． D．

12．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中项的系数为_______．

14．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为

______.

15．函数的定义域为_____________.

16．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在中，角的对边分别为，且满足.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若的面积为，，求和的值.

18．（12分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.

19．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.

（1）求证：；

（2）当时，求的取值范围.

20．（12分）的内角的对边分别为，若

（1）求角的大小

（2）若，求的周长

21．（12分）已知函数.

（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）求在上的最大值和最小值．

22．（10分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．

∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）

且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故选C

2、C

【解析】

首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.

【详解】

由已知为奇函数，得，

而，

所以，

所以，即的周期为.

由于，，，

所以，

，

，

.

所以，

又，

所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

3、D

【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.

【详解】

因为

，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，