热点10 等差、等比数列的性质及其应用（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）（原卷版）.docxVIP

热点10等差、等比数列的性质及其应用

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第15题，考察数列的概念与等比数列的结合

2023年，第14题，考察等差数列与等比数列的结合

2024年，第14题，考察等比数列的定义与立体几何的结合

2022年，第15题，考察等差数列与等比数列的结合

等差、等比数列是北京卷的必考内容，2025年高考数学等差数列与等比数列结合的题目可能会再次出现，也可能会考察等差数列与其他数学概念(如函数、不等式等)的结合.

题型1等差等比数列基本量计算

（1）可由等差（比）的通项公式与求和公式构造关于首项和公差（比）的方程组即可求解

（2）利用等差、等比数列的性质可简化计算

1．（2024·北京·模拟预测）记等差数列的公差为，前项和为，若，且，则该数列的公差为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．（2024·北京朝阳·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（????）

A．60 B．80 C．90 D．100

3．（2024·北京·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知，则（????）

A．4 B．6 C．10 D．12

4．（2023·北京·三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则．

5．（2022·北京西城·一模）已知数列满足（n≥2,n∈N?），为其前项和，若，则.

题型2等差等比数列的判定与证明

对于数列，若?是等差数列

对于数列，若?是等比数列

1．（2022·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（????）

A． B． C． D．

2．（2023·北京东城·二模）已知数列中，，，为其前项和，则（????）

A． B． C． D．

3．（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则不正确的是（????）

A．是等比数列 B．是等比数列

C．是等差数列 D．是等差数列

4．（2024·吉林·三模）已知数列满足，.

(1)证明：数列为等差数列，并求通项；

(2)求数列的前n项和.

5．（2023·24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)判断数列是否为等比数列；

(3)证明：数列为等差数列，并求该数列的前项和．

题型3等差数列的前n项和的最值

求等差数列的前项和的最值通常有两种思路

（1）将配方。转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决;

(2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值.

当时,满足的项数使取最小值.

1．（2023·北京海淀·二模）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（????）

A．7 B．6 C．5 D．4

2．（2023·北京海淀·模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（????）

A．6 B．7 C．9 D．10

3．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（????）

A．当时，最大 B．当时，最小

C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项

4．（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求的最大值．

5．（2021·22高三下·北京西城·开学考试）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

题型4等差数列的性质

等差数列的常用性质：

（1）通项公式的推广：在等差数列中，；

（2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有

1．（2024·北京门头沟·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（????）

A．54 B．63

C．72 D．135

2．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2022·北京大兴·三模）已知数列的前n项和为，，，2，3，…，则．

4．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（????）

A． B． C． D．

5．（2022·北京房山·一模）数列是等差数列，若，，则（????）

A． B．9 C．10 D．20

题型5等比数列的性质

等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和．

（1）；

(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.

1．（2023·24高一下·上海徐汇·期末）若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2023·广东汕头·一模）已知，如果，，，，成等比数列，那么（????）

A．， B．，

C．，