热点13 空间向量求夹角与距离（7题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）（解析版）.docxVIP

热点13空间向量求夹角与距离

三年考情分析

2025考向预测

2022年，第17题，考察线面角的向量求法

2023年，第16题，考察面面角的向量求法

2024年，第17题，考察面面角的向量求法

本节内容是北京卷的必考内容，设题稳定，难度中上，一般为解答题的第二问，故2025年北京卷在空间向量及其应用方面的命题可能会继续关注面面角和线面角的向量求法，同时结合立体几何知识，考查空间向量的数量积、坐标表示和线性运算等知识点

题型1点到直线的距离

用向量法求点到直线的距离：

①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

1．（2022·北京东城·二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，

设，则，

∴动点P到直线的距离为

，当时取等号，

即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.

故选：D.

2．（2023·广东江门·一模）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为.

【答案】

【详解】由题设，则坐标原点到直线的距离.

故答案为：

3．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（???）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

??

由直三棱柱可得平面，而，

故建立如图所示的空间直角坐标系，，

设，其中，故，

而，，

故到直线的距离为，

因为，故，故，

故选：B.

4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为.

【答案】

【详解】因为，，，

所以,

所以，.

所以,

所以.

所以点O到直线的距离为.

故答案为：.

5．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点，直线与所成角的余弦值为．求：

(1)点到直线的距离；

(2)二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)．

【详解】（1）取的中点，连接，

因为，，所以，

又，所以四边形为平行四边形，

又，

故⊥，

因为平面，平面，

所以，

如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设，则，

于是．

设所成的角为，

则，

故，解得，

设点到直线的距离为，

则，

所以．

所以点到直线的距离为．

（2）依题意，．

设平面的一个法向量，

则，

解得，令，得，所以，

设平面的一个法向量为，

则，

解得，令，得，则．

设二面角的平面角为，由图知为锐角，

则，

所以二面角的余弦值为．

题型2点到平面、异面直线的距离

用向量法求点到平面的距离：

①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式

1．（2023·北京丰台·二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离；

(3)过点与垂直的平面交直线于点，求的长度．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【详解】（1）因为平面平面，，，，四点共面，

且平面平面，平面平面，

所以.

（2）因为平面，是正方形，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，则，令，则，

所以点到平面的距离.

（3）因为过点与垂直的平面交直线于点，所以，

设，因为，所以，

，

所以，

所以，解得，

所以.

2．（2023·北京顺义·一模）如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．

(1)求证：点F为的中点；

(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：方法1：因为平面平面，

平面平面，

平面平面，

所以，

连接，

因为，，

所以四边形是平行四边形.

所以，.

因为是的中点，

所以点为的中点.

方法2：连接.

因为，，

所以四边形是平行四边形.

所以

因为平面，平面，

所以平面，

因为平面ACE，平面平面，

所以.

所以.

因为是的中点，

所以点为的中点.

（2）方法1：因为，，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，，所以，

设，则，

由，得，即，

所以，则，

所以点到平面的距离.

方法2：连接，

因为平面，所以，

因为，，平面，所以平面，

又平面，所以.

在平面内，由，

可得，

由勾股定理求出，，，

在中由余弦定理得，

则，

，

，

设点到平面的距离为d，

由，得，

所以点到平面的距离为.

3．（2022·北京平谷·模拟预