微专题13 求与圆有关的阴影部分面积（方法讲解 8种题型汇总 专题训练）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（解析版）.docxVIP

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第六章圆

微专题13求与圆有关的阴影部分面积

（方法详解+8种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

【解题大招】求阴影部分的面积，在近几年中考题中成了新的热点。在求阴影部分的面积试题中，图形一般都是一些不规则的图形或者没有公式可以直接套用的，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，将要求的阴影部分的图形转化为可求解的规则图形的组合，常用的方法有:

1）直接用公式求解．

S阴影=S扇形ABC

S阴影=S△ABC

S阴影=S四边形ABCD=ab

2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．

①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形）

图形

面积计算方法

图形

面积计算方法

S阴影=S△ACB?S扇形CAD

S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′?S半圆AB

S阴影=S△AOB?S扇形COD

S阴影=S半圆AC+S半圆BC?S△ACB

②构造和差法

图形

公式

S阴影=S扇形AOC+S△BOC

S阴影=S△ODC-S扇形DOE

3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．

①全等法

图形

公式

S阴影=S△AOB

②等面积法

图形

公式

S阴影=S扇形COD

③平移法

图形

公式

S阴影=S正方形BCFE

④旋转法

图形

公式

S阴影=S扇形BOE

⑤对称法

图形

公式

S阴影=S△ACD

S阴影=S扇形CDE

4）在计算阴影面积时，我们可以将物体划分为若干个子区域，然后利用容斥原理来计算阴影面积.

方法：我们需要将物体划分为不同的部分，每个部分都是由一个或多个对象组成的.然后，我们计算每个部分的面积，并相加得到总面积.但是，这样计算得到的总面积中可能包含了重复计算的部分，即重叠区域.为了避免重复计算，我们需要减去重叠区域的面积.

容斥原理的核心思想是先计算每个部分的面积，并相加得到总面积，然后再减去重叠区域的面积，最后得到的结果就是阴影面积.

题型01求弓形的面积

1．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，弦AB长为43cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm，则截面圆中液体的面积为

【答案】16

【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用、弓形面积计算，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得AC=BC=12AB

【详解】解：由题意得：OC⊥AB，弦AB长为4

∴AC=BC=12AB=2

设OA=OD=xcm

∵CD=2cm

∴OC=OD?CD=x?2

在Rt△OAC中，由勾股定理得：2

解得：x=4，

∴OA=OD=4

∴sin

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=2∠AOC=120°，

∴截面圆中液体的面积为120×π

故答案为：16π

2．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=12弦×矢

??

【答案】10

【分析】由垂径定理知AD=4，再由勾股定理得到OD=3，求得CD=2，然后由弧田面积公式即可得出结果．

本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键．

【详解】由题意得：OC⊥AB于点D，

∵AB=8，

∴AD=BD=1

在Rt△ODA中，OA=5

由勾股定理得：OD=O

∴CD=OC?OD=5?3=2，

∴弧田面积=1

∴弧田的面积为10平方米．

故答案为：10．

3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．

??

(1)求证：DE是⊙O的切线．

(2)若∠ABC=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】（1）连接OD，根据OB=OD，得出∠OBD=∠ODB．根据BD平分∠ABE，得出∠OBD=∠EBD，则∠EBD=∠ODB．根据DE⊥CB得出∠EBD+∠EDB=90°，进而得出∠ODB+∠EDB=90°，即可求证；

（3）连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，通过证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．求出OF=OB?sin60°．最后根据

【详解】（1）解：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

∵BD平分∠ABE，

∴∠OBD=∠EBD，

∴∠EBD=∠ODB．

∵DE⊥CB，

∴∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切