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葛一平面向量的数量积及其应用
考［试要求］
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直
关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
走［进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能
C梳理•必备知识
1.向量的夹角
已知两个非零向量。和瓦。是平面上的任意一点，作温仍=4则
就是向量。与b的夹角，向量夹角的范围是0［,与.
当夕=,时，。与力相互垂直，记作aD；
当＜9=0时,。与方共线且同向；
当一=兀时,。与b共线口反向.
2.平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量用。，它们的夹角为仇则数量回吐空2叫做向
量。与方的数量积或（内积），记作a协，即。山=|a||b|cos仇规定：0“=Q.
3.投影向量
C4,B,D
设a,方是非零向量，它们的夹角是ae是与。方向相同的单位向量，Ab=
a,Cb=b,过菸的起点A和终点B,分别作C力所在直线的垂线，垂足分别为
4,Bi,得到4市|,我们称上述变换为向量。向向量b投影，A7］叫做向量a在
向量b上的投影向量,记为lalcosJe.
提醒：设明方是非零向量，它们的夹角为0,则a在力上的投影向量为|〃|cos
b(a-b)b
喃一所•
4.向量数量积的运算律
(\)a-b=b-a.
(2)(Ad),b=X(a*b)=a-(Xb).
(3)(a+b)・c=a・c+〃・c.
5.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(xi,yi),b=(X2,yi),。为向量G,力的夹角.
(1)数量积：a-b=\a\\b\cos0=x\X2-\-y\y2.
(2)模：|a|=\fa-a=\]xiIn.
⑶夹角：3。=丽=这百色大，
(4)两非零向量a_Z.》的充要条件：。协=00的2+yiy2=0.
(5)|a・b|W|a||b|(当且仅当a〃b时等号成立)台仅112十51)，2咫＜¥?+)不«^+货.
6.向量在平面几何中的应用
(1)要证A3=CZ),可转化为证明后2=3)2或冲|=|6|.
(2)要证两线段AB,CO平行，只要证存在唯一实数2W0,使等式牯=2C力成
立即可.
(3)要证两线段A8,CO垂直，只需证油•6=0.
(4)求夹角问题，利用夹角公式cos。=箭.
[常用结论]
1.平面向量数量积运算的常用公式
(l)(a+b)・5-b)=02一庐；
⑵(a功)2=/±20协+方2；
(3)。山=，(a+5)2—(。一团2](该式又称作极化恒等式).
2.有关向量夹角的两个结论
2
两个向量。，〃的夹角为锐角0a且％b不共线;
两个向量
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