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第1章概率论补充知识

1.1概率空间(Ω,F,P)

1933年苏联数学家Kolmogorov在其著作《概率论基础》一书中

首次给出概率的测度论式的严格定义，建立了概率论的公里化体系，

从而使概率论成为一个严谨的数学分支。

1.1.1事件域F

事件是样本空间Ω的一个子集，但一般并不把Ω的一切子集都看作事件。

定义1.1.1(事件域)设Ω是样本空间，F是由Ω的一些子集构成的集类。满足

(1)Ω∈F;

(2)A∈F,则A的余集A∈F;

(3)A∈F,则n=1,2,.,则;则称集类F为事件域，F中元素称为事件。

一般地，称满足上述条件的集类F为σ域。

因此，事件域F是一个σ域，Ω称为必然事件，φ称为不可能事件。

σ域具有如下性质：

(1)空集φ∈F;

(2)若A∈F,则n=1,2,,则

0

事实上，由DeMorgan律知

(4)若A∈

事实上，

(3)若A,∈F,则n=1,2,则

事实上，

n=1,2,

则

,

1.1.2概率P

概率是定义在事件域F的一个集合函数，即对于事件域F中的每一个元素A都有一个实数与之对应。一般把这种由集合到实数的映射称为集合函数，简称为集函数。

定义1.1.2(概率)设Ω是样本空间，F是Ω的一个事件域，

P(A)是定义在F上的实值集函数，如果P(A)满足

(1)(非负性)对任意A∈F有0≤P(A)≤1

(2)(规范性)P(Ω)=1

(3)(可列可加性)若Am∈F,则m=1,2,,且有

则称P是事件域F上的概率。

一般称三元总体(Ω,F,P)为概率空间，其中Ω为样本空间，

F是事件域，P是概率。

例1.掷一枚均匀硬币，观察其出现的结果。样本空间Ω={w₁,w₂},

其中w₁表示出现正面，w₂表示出现反面，则基本事件A={w₁},A={w

事件域F二含有2²个子集

定义事件域上的事件A的概率为;k为事件A包含的样本点的个数，

则(Ω,F,P)为概率空间。

例2掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.。样本空间Q={w₁,W₂,…,w₆},

其中w₁,W₂,…,w₆分别表示出现，1,2,-,6点。样本空间Ω所有子集为单样本点集：{w₁},{w₂},-,{w₆},有C₆=6个；

双样本点集：{w₁,w₂}-,{ws,w₆},有C2=15个；

…

六样本点集：{w₁,W₂,W₃,w₄,W₅,w₆}=Q,有C6=1;

φcΩ,有1个。

事件域F由样本空间Ω的一切子集所构成，即

F={{w₁},{w₂},-,{w₆}{w₁,w₂}--{w₅,w₆},-{w₁,W₂,…,w₆

其元素总数为C6+C₆+C²+C6+C6+C₆+C6=2⁶。

事件域F上事件A的概率定义为,k为事件A包含的样本总数，

(Ω,F,P)为概率空间。

例3某电话交换台，在一单位时间内，可能受到的呼唤次数为0,1,2,…,若平均数为λ,求呼唤次数不超过5次的概率。

样本空间Ω={0,1,2,-},事件域F可取为Ω的一切子集构成的σ域，

在F上定义一个集函数P(A)满足

(λ0)

且P(Φ)=0。

可以验证这样定义的集函数P(A)是概率，

事实上，对任意A∈F,有

因此，(Ω,F,P)是一概率空间，所要求的呼唤次数不超过5次

的这一事件A的概率为

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概率性质

设(Ω,F,P)是一概率空间，则概率P有如下性质：

(1)P(Φ)=0;

(2)(有限可加性)若对V;=1,2,…,n,A∈F,且对V₁≠j,AA,=则有

(3)(可减性)若A∈F,B∈F,且AcB,则有P(B-A)=P(B)-P(A);

(4)(单调不减性)若A∈F,B∈F,且AcB,则有P(A)≤PB);

(5)(次加可加性)对任意n=1,2,.,An∈F,

有

1.1.3条件概率空间

定义1.1.3(条件概率)设(Ω,F,P)是一已知的概率空间，B∈F满足P(B)0,

定义