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中心极限定理例题

引言

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一

定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于高斯

分布，即正态分布。这个定理在统计学中有着广泛的应用。

本文将通过几个例题来说明中心极限定理的应用和推导过

程。

例题1

假设有一个质量为1kg的物体，在连续3次抛掷中，每次

都以同样的力量抛出，求这3次抛掷的总共落地位置与平均

落地位置之间的差距。

解：设第一次、第二次和第三次抛掷的落地位置分别为X1,

X2和X3，平均落地位置为X。

由题意可知，X1,X2和X3是独立同分布的随机变量，且服

从均值为0，方差为1的标准正态分布。

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根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他

们的和呈现出正态分布的特点。

因此，3次抛掷的总共落地位置可以表示为：

Sum=X1+X2+X3

根据中心极限定理，我们可以得到：

Sum～N(0,3)

所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距可以表示

为：

Difference=Sum-3*X

根据正态分布的性质，我们知道均值为0的正态分布减去

均值为μ的正态分布的期望值为0，即：

E[Difference]=E[Sum-3*X]=E[Sum]-E[3*X]=0-0=0

所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距的期望值

为0。这意味着平均而言，总共落地位置与平均落地位置没有

偏移。

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例题2

某超市每天出售的可乐数量服从均值为1000，标准差为

10的正态分布。今天超市售出的可乐数量为2000瓶，求今

天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距。

解：设今天超市售出的可乐数量为X，平均值为X。

由题意可知，X服从均值为1000，标准差为10的正态分

布。

根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他

们的和呈现出正态分布的特点。

我们知道，每天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距

可以表示为：

Difference=X-X

根据正态分布的性质，我们知道均值为μ的正态分布减去

均值为μ的正态分布的期望值为0，即：

E[Difference]=E[X-X]=0

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所以，今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距的期

望值为0。这意味着平均而言，今天超市售出的可乐数量与平

均值没有偏移。

例题3

某批电池的寿命服从均值为200小时，标准差为20小时

的正态分布。从这批电池中随机抽取n个电池，求这n个电

池的寿命总和与理论总和之间的差距。

解：设n个电池的寿命分别为X1,X2,…,Xn，理论总和为

n*μ，平均寿命为μ。

由题意可知，X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量，且服

从均值为200，标准差为20的正态分布。

根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他

们的和呈现出正态分布的特点。

所以，n个电池的寿命总和可以表示为：

Sum=X1+X2+…+Xn

根据中心极限定理，我们可以得到：

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Sum～N(n*μ,n*σ^2)

我们知道理论总和为n*μ，所以这n个电池的寿命总和与

理论总和之间的差距可以表示为：

Difference=Sum-n*μ

根据正态分布的性质，我们知道均值