考研数学-函数与极限.docVIP

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题型1函数的性质

一、基础知识

1.单调性

判断单调性的方法:(1)根据定义,考察的符号;

(2)根据导数的符号.

2.奇偶性

奇偶性的性质:(1)奇函数的图形关于原点对称,且；偶函数的图形关于轴对称.

(2)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇.

判断奇偶性的方法：(1)奇偶性的定义

(2)奇偶性的性质

(3)奇函数

单调性多结合导数考查奇偶性结合变上限函数考查.(放后面讲)

3.有界性

判断有界性的方法:(1)闭区间上的连续函数定为有界函数.

(2)开区间内的连续函数考察与,若二者的极

限都存在,在内有界.

(3)适当放大或缩小有关表达式导出有界.

(4)利用基本初等函数的图形.

4.周期性

定义域为.正数,使得对于任一,有,且

恒成立,则称为周期函数.称为的周期.

二、例题

例1.判别函数的奇偶性.【答案】,奇函数.

例2.在内函数为【D】

(A)奇函数.(B)偶函数.(C)无界函数.(D)有界函数.

例3.(04－34)函数在下列哪个区间内有界【A】

(A).(B).(C).(D).

练习

1.设，则是【C】

(A)偶函数.(B)周期函数.(C)无界函数.(D)单调函数.

题型2数列的极限

一、基础知识

符号定义:当时,恒有

成立

数列极限存在准则:夹逼准则单调有解准则

二、例题

考查定义

例1.下列命题中正确的是【D】

(A)当越大时,越小,则必以为极限

(B)当越大时,越接近于零,则必以为极限

(C)当时,有无穷项满足,则必以为极限

(D)当时,仅有有限多项不满足,则必以为极限

(2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限

例2.(022)设,,证明数列的极限存在,并求此极限.

【答案】

例3(06-12-12分)设数列满足.

(Ⅰ)证明存在,并求该极限.

(Ⅱ)计算.【答案】0,

练习

1.设证明数列的极限存在,并求此极限.

【答案】1

2.证明数列的极限存在,并求此极限.

【答案】2

3.(96-1)设,试证数列的极限存在,并求此极限.

【答案】3

（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求项和的极限

例4.(04-2)等于【】

（A）.（B）.（C）.（D）.

例5.（98-1）求.【答案】.

练习

(02-2).

(99-4)设函数则.

题型3函数的极限(**)

一、基础知识

(1)符号定义:当时,恒有

成立

(2)符号定义:当时,恒有

成立

（3）两个重要极限

a.b.

(4)无穷小量的性质

有限个无穷小量的“代数和”“乘积”无穷小量;

常数或有界函数与无穷小量的乘积无穷小量;

无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量．

（5）常用的等价无穷小代换：当时,

．

等价无穷小代换常常使用在极限运算中,起到简化运算的作用,但必须注意,只能在乘除中使用,不能在加减运算中使用．

（6）洛必达法则

如果函数和满足

（1）当,

（2）,

（3）极限存在（或为无穷大）,

那么

（7）无穷小量阶的比较

定义:设是在同一极限过程中的无穷小,又也是这个变化过程中的极限．

（1）――――比“高阶”的无穷小,记作;

（2）――――比“低阶”的无穷小;

（3）（常数）――――与是“同阶”无穷小;

（4）如果,则与是“等价”无穷小,记作．

洛必达法则的使用原则:先用代数恒等变形把非0非因子用极限法则分离出去.再尽量用等

价无穷小化简.最后使用洛必达法则.

极限问题:定义理解是基础，运算性质是关键.除上述方法必要时可采用具有皮亚诺余项形式的泰勒公式.

二、例题

考查定义、性质、定理

例1.设都不存在,则【D】

(A)一定不存在.

(B)