高等数学教程（第4版）课件：极限与连续.pptxVIP

2.1数列无穷小与极限;数列的定义域正整数集是无限集,没有最大正整数.;考察数列;注意;定义2.1(数列极限的定义);如果不存在这样的常数A,;例2.1对任意的证明;定理2.1(无穷小比较定理);证;例2.3证明;例2.4证明;;2.2函数无穷小与极限;定义2.2(函数极限的定义);显然,;例2.6证明;例2.7设;我们用表示点x从的右侧无限接近;定理2.2(极限与左、右极限的关系);例2.8证明不存在.;2.2.2函数在无穷远的极限;定义2.3(函数极限的定义);的几何意义:;比较法的思想同样可以研究自变量趋于无穷时;例2.10证明;练习：证明;在定义2.3中,把分别改为与;2.2.3极限的性质;定理2.5(局部保号性);2.2.4无穷大;定义2.4;分别称为正无穷大和负无穷大；;证;2.3极限的运算法则;定理2.7无穷小与有界函数的乘积为无穷小.;几个极限不存在的例子:;定理2.8(极限四则运算法则);故;有;例2.14求;一般地,设;解;解;解;一般地,当为非负整数时,有;解根式有理化;解;解;定理2.9(复合函数的极限运算法则);例2.18求;例2.19证明不存在.;由于数列可以看作特殊的函数,因此复合函数

的极限法则对数列同样适用.;如果数列收敛于A,;答案;(3)试确定常数a,使;准则I(夹挤定理);证;如果数列及满足以下条件:;例2.21求为正整数.;练习求;例2.22求其中.;练习证明;;即;解;;第二个重要极限:;解;解;准则II’如果函数在开区间I上单调,;*柯西极限存在准则;2.5函数的连续性;设;例2.27讨论函数;处右连续,;证;证;定理2.12(函数四则运算的连续性);定理2.13(复合函数的连续性);由;注:初等函数的连续性提供了极限的简单求法.;例2.31已知;例2.32求;2.5.2函数的间断点;例如,;如果和中至少一个不存在,;根据间断点的具体情形,可以将其做如下分类:;如果补充定义;初等函数无定义的孤立点是间断点;;所以,x=0为可去间断点.;2.5.3闭区间上连续函数的性质;注意:若区间是开区间或区间内有间断点,定理

不一定成立.;例2.34证明方程;例2.35证明方程;练习设函数;定理2.18(介值定理);推论闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M

与最小值m之间的任何值.;例2.36设;例如,当;定义2.8(无穷小的阶的比较);例2.37证明当;例2.38常用等价无穷小:证明当;(2)令;证因;解;解;性质:一个无穷小;例2.41当时,试确定下列无穷小的阶数:;注:如果用表示任意一种极限,包括六种

情况下函数的极限和数列极限,;1.三个基本无穷小;2.关于无穷小的比较定理;证因;例2证明;例3证明;解;例5设;例6设;证因;二、证明;第一章习题课(极限与连续部分);2.间断点分为两类:;例1求;例2已知求常数a,b.;例3设;解;解;故;例7讨论的连续性.;解;;证;由零点定理知,;及可去间断点试确定常数a及b.;x=–1为第一类可去间断点;;例12设函数内有定义,对任意实数;所以,;;三、求下列极限:;四、已知极限存在,求常数a.;五、求出曲线的水平与铅直渐近线.;又因;解令;解(1);证;解;解;故,x=0为第一类可去间断点.