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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第7篇不确定性、信息和外部性
第18章不确定性和风险厌恶
课后习题详解
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1．乔治花了整整10万美元的赌注押在公牛队身上，打赌公牛队在与太阳队的NBA总决赛中会获胜。如果乔治的财富效用函数是对数形式的，并且他现在的财富是100万美元，那么他认为公牛队一定会赢的最小概率是多大？
解：假设公牛队会赢的最小概率为，假设乔治的效用函数为：，其中为财富水平。
在乔治参加赌博的情况下，他的期望效用为：
在乔治不参加赌博的情况下，他的效用为：。
为了使他参加赌博，因而有：
从而可以解得：，也即他认为公牛队一定会赢的最小概率为0.525。
2．请说明如果一个人的财富效用函数是凸的，那么，他（她）就会选择公平赌博而不是确定的收入，甚至还可能愿意去接受某种不公平的赌博。你认为这种接受风险的行为是普遍的吗？什么因素会趋向于限制这种行为？
解：如图18-3所示，假设某人的初始财富为，如果参加赌博，则他可以0.5的概率赢得，或以0.5的概率输掉。在效用函数为凸的情况下，他不参加赌博所获得的确定性效用为，而参加赌博后获得的期望效用为。因为，所以他会选择公平赌博，而不是仅获得确定的收入，甚至他还有可能参加不公平的赌博，因为此时的期望效用高于确定性收入下的期望效用。
这种接受风险的行为并不普遍。这种行为会受到消费者个人所拥有的财富等资源的限制：因为在不公平的赌博中消费者有可能耗尽其财富，从而未必能实现赌博下的期望效用一定比确定性收入下的效用大的情况。
图18-3凸性效用函数与消费者的决策
3．一个人买了一打鸡蛋、并一定要把它们带回家。尽管回家的旅行是无成本的，但在任何一条路上所带的鸡蛋被打破的概率都是50%。这个人会考虑两个策略。
第一个策略：走一条路带所有12个鸡蛋。
第二个策略：走两条路，每次带6个鸡蛋。
（1）请列出每种策略的可能结果与每种结果的可能性。请说明在每种策略下，回家之后平均都有6个鸡蛋没有被打碎。
（2）画一图表示在每一种策略下可获得的效用，人们会倾向于哪一个策略？
（3）采用再多跑几趟的方案，效用是否可以被进一步改善？如果其他的路是有成本的，那么，这种可能性会受到怎样的影响？
解：（1）如果此人采用策略1，那么可能的结果与每种结果的可能性如表18-1所示：
表18-1策略1的结果
未打碎鸡蛋的平均个数为（个）。
如果此人采用策略2，那么可能的结果与每种结果的可能性如表18-2所示：
表18-2战略2的结果
未打碎鸡蛋的平均个数为（个）。
（2）假设此人的效用函数为，这里是鸡蛋的个数。那么策略1带给此人的效用为：
策略2带给此人的效用为：
所以：①
这样，如果此人是风险厌恶型的，那么由①式可知，即此人偏好于策
从而他的预期效用为：
由于，所以农民会混合种植。
（3）假设小麦的种植份额为，那么混合种植的期望效用为：
期望效用最大化的一阶条件为：
解得：。
此时的期望效用为：
所以当农民用4/9的土地种小麦，5/9的土地种谷子时，其期望效用达到最大，为。
（4）如果种植小麦的农民购买保险，那么他的期望效用为：
这个值大于两种作物按最优混合比例种植所能带给农民的效用，所以农民会买保险。
8．对于相对风险厌恶不变效用函数为常数的情况下，风险厌恶度由（）来测度。讨论下述问题：
（1）为什么风险厌恶与一个人在各种世态之间财富替代的意愿是相关的？通过这两个概念可以把握什么现象？
（2）你怎样在风险厌恶与替代的框架中解释与这两种极端的情况？
（3）在“坏”日子的或然权利价格（）的上升会在对与的需求中引致替代效应与收入效应。如果个人花费在这两种商品上的预算是固定的，那么，这会怎样影响在它们之间所进行的选择？为什么的上升或下降取决于这个人所表现出的风险厌恶程度？
（4）假定经验数据表明，如果个人被吸引投资于50%的机会赢得或损失5%资产的投资，则此人要求0.5%的平均收益率。也就是说，此人从中所获得的效用与从一个和的公平赌博中所获得的效用是相同的。
①与此行为相一致的值是多少？
②此人接受一个50%机会赢得
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