北师大版数学九下期末复习训练专项29 二次函数与直角三角形有关的问题（解析版）.docVIP

专项29二次函数与直角三角形有关的问题

直角三角形的存在性问题

找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

（2）以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

下面主要介绍2种常用方法：

【方法1几何法】“两线一圆”

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

如何求得点坐标？以为例：构造三垂直．

【方法2代数法】点-线-方程

【方法1勾股定理】

【典例1】（2021秋?建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．

（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：

∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴D（﹣1，﹣4），

设E点坐标为（0，m），

∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，

当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，

∴m2+9+20＝m2+8m+17，

解得m＝，

∴此时点E的坐标为（0，）；

当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，

m2+8m+17+20＝m2+9，

解得m＝﹣，

∴此时点E的坐标为（0，﹣）；

当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，

m2+9+m2+8m+17＝20，

解得m＝﹣1或m＝﹣3，

∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【变式1-1】（2022?灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），

将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），

∴3a＝3，

∴a＝1，

∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴顶点为（2，﹣1）；

（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

设E（2，t），

∵△BCE是直角三角形，

∴BE⊥CE，

∵B（3，0），C（0，3），

∴BC＝3，BE＝，CE＝，

①当BC为斜边时，

∴18＝（）2+（）2，

解得t＝，

∴E点坐标为（2，）或（2，）；

②当BE为斜边时，

∴18+（）2＝（）2，

解得t＝5，

∴E点坐标为（2，5）；

③当CE为斜边时，

∴18+（）2＝（）2，

解得t＝﹣1，

∴E点坐标为（2，﹣1）；

综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）

【变式1-2】（2022?广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，

∴AN＝NP1＝3，

∴P1（﹣1，3），

当∠ABP2＝90°时，△