2023—2024学年江苏省天一中学高一下学期强化班期末考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年江苏省天一中学高一下学期强化班期末考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知复数，则的实部是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则与相交

(★★)3.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（）

A．相互独立

B．互斥

C．互为对立

D．相等

(★★)4.若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★)6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，，BD＝2，则b＝（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.已知圆，直线，若与圆交于两点，设坐标原点为，则的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲?乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙?甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

(★★)10.一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)11.在三棱锥中，平面平面，，则（）

A．三棱锥的体积为1

B．点到直线AD的距离为

C．二面角的正切值为2

D．三棱锥外接球的球心到平面的距离为

三、填空题

(★★)12.在正方体中，直线和直线所成的角为__________.

(★★)13.满足且的复数__________.

(★★★★)14.已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.

四、解答题

(★★)15.已知平面向量，且.

(1)求与的夹角的值；

(2)当取得最小值时，求实数的值.

(★★★)16.已知圆上一点

(1)求圆在点处的切线方程；

(2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程.

(★★★)17.猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.

(★★★★)18.如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且

（i）当时，求的面积；

（ii）若，求.

(2)已知，且，求AC的最大值.

(★★★★)19.如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.

(1)证明：平面；

(2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，