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2017年江苏省苏州外国语学校自主招生数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）

1．（4分）若匀速行驶的汽车速度提高40%，则行车时间可节省%（精确至1%）．

2．（4分）有一张矩形纸片ABCD，AD＝9，AB＝12，那么折痕长是．

3．（4分）若规定：①{m}表示大于m的最小整数，例如：{3}＝4，{﹣2.4}＝﹣2，例如：[5]＝5，[﹣3.6]＝﹣4．

4．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．

其中正确的结论有．（填序号）

5．（4分）已知如图，D为等边三角形ABC内一点，DB＝DA，∠1＝∠2，则∠BFD＝．

6．（4分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，则a的取值范围是．

7．（4分）如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为．

8．（4分）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣7在﹣1≤x≤5上的函数值总是正的，则m的取值范围是．

9．（4分）已知x为实数，且﹣（x2+x）＝2，则x2+x的值为．

10．（4分）A、B、C、D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A中奖，那么B也中奖，那么C中奖或A不中奖；如果D不中奖，C不中奖；如果D中奖，则这四个人中，中奖的人数是人．

11．（4分）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：

欲购买的

商品

原价（元）

优惠方式

一件衣服

420

每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券

一双鞋

280

每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券

一套化妆品

300

付款时可以使用购物券，但不返购物券

请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为元．

12．（4分）如图，在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BC＝3，那么这样的点P有个．

13．（4分）若关于x的分式方程﹣1＝在实数范围内无解．

14．（4分）有n个连续的自然数1，2，3，…，n，若去掉其中的一个数x后，剩下的数的平均数是16．（参考公式：Sn＝1+2+3+…+n＝）

二、解答题（本题有5小题，共64分）

15．（12分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，AB＝10米，AE＝15米（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

16．（12分）阅读下面材料，并解答下列各题：

在形如ab＝N的式子中，我们已经研究过两种情况：

①已知a和b，求N，这是乘方运算；

②已知b和N，求a，这是开方运算；

现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．

定义：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b＝logaN．

例如：因为23＝8，所以log28＝3；因为2﹣3＝，所以log2＝﹣3．

（1）根据定义计算：

①log381＝；②log33＝；③log31＝；

④如果logx16＝4，那么x＝．

（2）设ax＝M，ay＝N，则logaM＝x，logaN＝y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），

∵ax?ay＝ax+y，∴ax+y＝M?N∴logaMN＝x+y，

即logaMN＝logaM+logaN

这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：

logaM1M2M3…Mn＝（其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）

loga＝（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．仿照上面说明方法，任选一空试说明理由．

17．（12分）已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，求a的取值范围．

18．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝2AB，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，两点同时出发，设运动时间为t秒

（1）若t＝2时，求证：△DBA∽△PBQ；

（2