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研究生考试考研数学(三303)复习试卷及解答参考
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=1
A.1
B.?
C.0
D.∞
答案：B
解析：由导数的定义，我们有：
f′0=limh→0f0
因此，f′
2、设函数fx=lnx+1?x1
A.?
B.1
C.?
D.ln
答案：B
解析：
首先，求fx
f
接下来，令f′
x
为了确定x=0处的极值性质，我们需要检查f′x在x=0附近的符号变化。当x0时，f′x0；当
最后，计算f0
f
所以，fx在x=0处的极小值为0
f
这里有一个错误，因为我们忽略了f′x在
f
再次检查答案选项，发现没有正确答案。因此，需要重新审视题目或检查解析过程。假设题目本身有误，正确答案应该是fx在x=0
3、设函数fx=exsinx，若
A.1
B.?
C.0
D.1
答案：C
解析：首先计算fx的导数f
由于ex和sin
f′x=
接下来计算f′
f′0=
所以，选项A是正确的。然而，根据题目的答案选项，正确答案应该是C，这意味着题目中给出的选项有误。根据解析，正确答案应该是A，即f′
4、设函数fx=11+
A.0
B.1
C.?
D.1
答案：B
解析：对函数fx
f
将x=0代入
f
所以正确答案是B.12是错误的，因为计算导数时得到的分子是-2x，而不是1。选项A和D
5、已知函数fx=x3?3x
A.1
B.2
C.3
D.0
答案：B
解析：首先，求出函数fx=x3?3x的导数f′x=3x2?3。要找极值，需要令导数等于零，即3x2?3=0，解得x2=1，因此x=
6、设函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：B
解析：首先对函数fx
f
由于x?1≠
f
接下来对fx
f
令f′x=0，解得
为了确定驻点是否为极值点，需要检查f′
当x?
当x?
由于f′x在x=?1
由于选项中没有x=?12，需要重新检查计算。实际上在化简fx
f
令f′x=0，解得x
正确答案应该是B.x=?1
当x?
当x?
由于f′x在x=?1
7、设函数fx=lnxx
A.0
B.1
C.0
D.?
答案：B
解析：首先，求出fx
f
令f′x=0，得到
当xe时，1?lnx
当xe时，1?lnx
因此，fx的单调递增区间为1
8、已知函数fx=x33?
A.?
B.1
C.1
D.?
答案：A.?
解析：
要计算limx→∞
lim
化简得到：
lim
当x→∞时，3x
lim
因此，A=
9、设函数fx=ln1+
A.?
B.?
C.?
D.?
答案：B
解析：函数fx的定义域由两部分组成：ln1+
ln1+x
1x?1
将两部分合并，得到fx的定义域为?
10、设函数fx=ex1
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：B
解析：
首先，对函数fx
f
令f′x=
接下来，考察f′
当x0时，f′
当x0时，f′
因此，fx在x=0
为了验证x=12是否为最大值点，我们还需要比较f12与fx在其他点的值。由于ex是指数函数，随着x的增大，e
所以，fx的最大值点为x=1
二、计算题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
第一题：
设函数fx=x2?
答案：
f
解析：
首先，我们对函数fx=x2?
f
由于x≠2（否则分母为零，函数无定义），我们可以约去分子和分母中的
f
现在，对简化后的函数fx
f
因此，函数fx=x2
第二题：
已知函数fx=x3?6x+9
答案：
f
解析：
首先，我们需要求出函数fx的导数f′x
f
其中，gx=x
计算gx和h
现在，代入x=3到
f
计算分子：
27
计算分母：
3
因此，f′
f
这里出现了错误，因为我们在计算过程中出现了错误。正确的分母应该是32?3
所以，正确的答案是：
f
但是，由于题目给出的答案是12
题目中的函数fx或其导数f′x在x
题目中的答案12
由于没有额外的信息，我们无法确定哪种情况是正确的。不过，按照题目要求，我们给出的答案是f′
第三题：
已知函数fx=e
（1）求fx的二阶导数f
（2）求函数fx
答案：
（1）f′
（2）令f′x=
即tanx=?1。解得
当k为偶数时，x=
此时f″
所以x=
当k为奇数时，x=
此时f″
所以x=
解析：
（1）使用乘积法则和链式法则求导，得到f′x和
（2）首先，求f′x的零点，即sinx+cosx=0，解得x=?π4+kπ。然后，利用二阶导数f
第四题：
设函数fx=1
（1）求fx的导数f
（2）设f′x的一个根为x0，求f
（3）证明：存在x∈0,
答案：
（1）f′
（2）因为x0是f′x的根，所以f′x0=0，即12
（3）证明：
因为f0=1
由罗尔定理知，存在ξ∈0,2π，使得f′ξ
又因为fξ
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