2013年考研数学复习指导--求函数的极限.docVIP

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求函数的极限

一．函数极限的概念

1.函数极限的定义

定义1：设函数在的某个去心邻域内有定义,若对,，当时,恒有，则称在的极限为，记为.

(直观地说：当无限趋近时,函数无限趋近常数.)

定义2：设函数在内有定义,若对,，使得当时,恒有，则称在的极限为，记为.

2．左、右极限的定义

右极限：当时,恒有.

左极限：,当时,恒有.

,,当时,恒有.

,,当时,恒有.

3．极限存在的充要条件:

.

例1.（1）；；；

（2）；

（3）;；；

（4）；.

二．求极限的方法

1．极限的四则运算法则:设和都存在，则

(1）；

(2）；

(3）（）.

例2(1)=

=.

(2)==.

（3）

（4）.

解====

=.

所以.

2.利用等价无穷小求极限.

（1）无穷小的定义:若，则称为时的无穷小.

（2）无穷小的运算.

（3）无穷小的比较:若,且

若，则称与是同阶无穷小；

若，则称与是等价无穷小，记为；

若，则称是的高阶无穷小，记为.

（4）常用等价无穷小

(a)当时，；;；；

;；；.

（b）.

（5）利用等价无穷小求极限

当时，，，则.

例3(1)

.

(2)

.

例4．当时，与等价的无穷小量是

（A）;（B）;（C）;（D）.

解（A）（B）

（C）（D）答案（B）

例5.设，，则当时，是的（）.

(A)低阶无穷小;(B)高阶无穷小;(C)等价无穷小;(D)同阶但不等价.

解

.答案

例6.设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，求正整数.

解.

，.

例7．

.

3.利用洛必达法则求未定式极限的方法

法则I():设函数满足条件:

①

②在的去心邻域内可导,且;

③存在(或),则.

法则Ⅱ：设函数满足条件

①;

②在的去心邻域内可导，且;

③存在（或），则.

例8.(1)

=.

（2）

.

（3)=.

4．其它未定式：，，，，）

例9.（1）

.

（2）

.

（3）

综述:求极限的问题,主要是求未定型的极限,而它们都可以化为型或型：

先化简（代数变形、等价无穷小、代换、非零极限因子）,最后化成简单函数的或;

用分子（或分母）同除(或提取)无穷小或无穷大使分母极限存在且非零，再用四则运算;

用洛必达法则.

三．极限值已知求其中的未知常数

例10.(1),求的值.

解：.

或.

验证这二组数据都符合条件.

(2)设当时,是比高阶的无穷小,求的值.

解根据题意

有.

.从而有，所以.

（3）当时，与是等价无穷小，则

（A）（B）

（C）（D）

解：由于与为等价无穷小，则有

故有,所以.

，有得.

高等数学(同济大学第六版)

(2(A)表示第2题的单数题;2(B)表示第2题的双数题）

章节

不要求掌握内容

要求做的习题

第一章第一节

双曲函数

4(B).5.6.15.16.

第二节

1.

第三节

1.2.3.4

第四节

1.6.7.

第五节

1(A).3.4.5.

第六节

柯西极限存在准则

1(B).2(A).4.

第七节

1.2.3.4.

第八节

1.2.3.4.5.

第九节

1.4.5.6.

第十节

一致连续性

1.2.3.5.

总习题一

2.3.4.5.9.10.11.12.13.

第二章第一节

6.7.8.11.12.13.15至20.

第二节

2(B).4.5.7(B).8.9.10.11(B).14.

第三节

1(B).3.4.9.11.12.

第四节

参数方程所确定的函数的导数和相关变化率

数三不要求

1.2.3.4(A).

（数一、数二7.8(B).10.11.12）

第五节

微分在近似计算中应用.

1.2.3(B).

总习题二

1.2.3.6.7.10.11.1