第03讲 勾股定理的应用（解析版）-八年级数学.pdfVIP

第03讲勾股定理的应用

1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。

2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

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知识点：勾股定理应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角

形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方

进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的

结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题

类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

类型二、应用勾股定理解决旗杆高度

类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度

类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题

类型六、应用勾股定理解决航海问题

类型七、应用勾股定理解决河的宽度

类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题

类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题

类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题

类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

知识点2：平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路

线，构造直角三角形，利用勾股定理求解

考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

例1．（2023春•潮阳区校级期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙

上，这时梯子底端离墙（BO）6米

（1）此时梯子顶端A离地面多少米？

（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？

【答案】（1）8米（2）米

【解答】解：（1）∵AB＝10米，BO＝6米，

梯子距离地面的高度米，

答：此时梯子顶端离地面8米；

（2）∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度CO＝8﹣3＝5米，

∴米，

∴米，即下端滑行了米．

答：梯子底端将向左滑动了米．

【变式1】（2023春•北辰区期中）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm．

（1）求梯子AB的长；

（2）梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．

【答案】（1）25dm；（2）8dm．

【解答】解：（1）由题意可知，∠AOB＝90°，AO＝24dm，OB＝7dm，

∴AB＝＝＝25（dm），

答：梯子AB的长为25dm；

（2）由题意可知，CD＝AB＝25dm，AC＝4dm，

∴OC＝AO﹣AC＝24﹣4＝20（dm），

在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝15（dm），

∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8（dm），

答：BD的长为8dm．

考点二：应用勾股定理解决旗杆高度

例2．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度

时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉

开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出

来吗？

【答案】米

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【解答】本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道旗杆绳子与地面构成直角三,,

角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答.

设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，

∵旗杆垂直于地面，

∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，

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由题意列式为（），

x+5x+1

解得x12m，

所以旗杆的高度为12米．

【变式2-1】