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第16讲导数中的双变量与多变量问题.docx

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    第16讲导数中的双变量与多变量问题

    【典型例题】

    例1．（2022秋?天心区校级期末）已知函数．

    （Ⅰ）求函数的单调区间与极值；

    （Ⅱ）若，且，证明：．

    【解析】解：（Ⅰ）由，

    易得的单调增区间为，单调减区间为，

    函数在处取得极大值（1），且，无极小值；

    （Ⅱ）证明：由，，不妨设，则必有，

    构造函数，，，

    则，

    所以在，上单调递增，，

    也即对，恒成立．

    由，则，，

    所以，

    即，

    又因为，，且在上单调递减，

    所以，即证．

    例2．（2022?洛阳二模）已知函数．

    （1）若曲线与直线相切，求实数的值；

    （2）若函数有两个零点，，证明．

    【解析】解：（1）由，得，

    设切点横坐标为，依题意得，

    解得

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