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专题08与三角形有关的角压轴题型全攻略
【例题精讲】
例1．（三角形内角和）（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知中，平分，点在射线上．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，若，，求的度数；
(3)如图③，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)°，，
【分析】（1）根据角平分线的定义与平行线的性质，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理，可得，进而即可求解；
（3）分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴
∵中，，
中，，
，
∴
即；
（3）解：当，
当，
当，
，
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和等于，是解题的关键．
例2．（三角形外角）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为________；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）根据∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，根据三角形的外角性质即可得的度数；
（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得，进而可求的度数；
（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点,当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时,再根据，，根据三角形外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：（1）∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠A＝70°，
∴∠BDC＝70°+15°＝85°，
故答案为：85°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵∠BPC＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；
（3）如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，
∴∠ACD＝∠P+∠ABC，
即∠ACD＝3∠P+∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，
∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+20°．
综上所述：的度数为：或．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握并灵活运用三角形的外角性质，注意要分情况讨论．
例3．（角度综合）（2023下·四川成都·七年级成都七中校考期中）如图，点、点分别在边，上，，，的平分线交于点．
??
(1)求证：；
(2)如图，如果的平分线与交于点，，求的度数．
(3)如图，如果点是边上的一个动点（不与、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)不变，．
【分析】（）根据，得到，再利用角平分线的性质，即可解答；
（）根据，，得到，利用外角的性质得到，再根据平分，平分，得到，得到，利用三角形内角和为，；
（）不变，根据，，即可解答．
【详解】（1）如图，
??
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，设与交于点，
??
∵，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
（3）不变，如图3，
??
理由如下：∵，，，
∴，
同理，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．
例4．（折叠问题）（2023下·四川
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