专题65三角形中的四心问题（强化题型）（原卷版）.docx

专题6.5三角形中的四心问题

一、四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二、奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令