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专题12全等三角形模型之手拉手模型全攻略
【模型说明】
【例题精讲】
例1（等边三角形）如图，已知三点共线，分别以为边作等边和等边，连接分别与交于与的交点为．
（1）求证：；
（2）求度数；
（3）连接，求证：
【答案】（1）证明见解析?????（2）????（3）证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质去证明，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质得，再根据（1）中可得，再根据三角形的外角的性质即可求出度数；
（3）根据等边三角形的性质去证明，可得，从而求得即可得证．
【详解】（1）∵和是等边三角形
∴
∴
∴
在△BCD和△ACE中
∴
∴；
（2）∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴
；
（3）∵和是等边三角形
∴
∴
∴
在△BCM和△ACN中，
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、三角形外角的性质、三角形内角和定理、平行线的性质以及判定定理是解题的关键．
例2．（等腰直角三角形）如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
??
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）由，可推出，又因点，，分别为，，的中点，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；
（2）由旋转性质得出，又因，，可证得与全等，参考（1）中的解题思路即可证出，，从而推出为等腰直角三角形；
（3）在旋转的过程中，由（2）中的结论知为等腰直角三角形，，当有最大值时，须有的值最大，由三角形三边关系可推断出当B、A、D三点共线时，BD的值最大．
【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，
∴，
∵点、、分别为、、的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：；；
（2）为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，
又∵，，
，
，，
又、分别是、的中点，
是的中位线，
∴且，
同理，且，
，
，．
，，
，
为等腰直角三角形；
（3）由（1）（2）得，，
且为等腰直角三角形，
∵，即，
∴，
∴，
∴面积的最大值为2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，中位线的性质等知识点，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键．
例3．（等腰三角形）问题情境：
在自习课上，小雪拿来了如下一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流，如图①，△ACB和△∠CDE均为等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A、D、E在同一条直线上，连接BE．求证：∠CDE=∠BCE+∠CBE．
问题发现：
小华说：我做过一道类似的题目：如图②，△ACB和△CDE均为等边三角形，其他条件不变，求∠AEB的度数．
（1）请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求．
拓展研究：
（2）如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CF为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CF、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；∠AEB=；（2）∠AEB=；；理由见解析．
【分析】（1）小雪的题目：先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质、三角形外角的性质及等量代换即可得证；
小华的题目：先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质得出，然后根据等边三角形的性质求出，最后根据邻补角的概念和角的和与差即可得出答案；
（2）根据题意易证，再根据全等三角形的性质及邻补角的概念即可求得
∠AEB的度数；然后根据三线合一即可得出，最后根据线段的和与差及等量代换即可得出答案．
【详解】（1）小雪的题目：
证明：
在和中，
又,
；
小华的题目：
解：
在和中，
为等边三角形
又点A、D、E在同一条直线上
（2）∠AEB=；；理由如下：
△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
,
即
在和中，
,
点A、D、E在同一直线上
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
例4．（拓展）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E．
(1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：；
(2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CE﹣CD＝AC．理由见解
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