江苏省苏州市第五中学高中数学 一元二次方程学案 苏教版必修1.docVIP

一元二次方程

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

一元二次方程的根

配方法

求根公式

掌握

选择适当的方法求一元二次方程的根，会用判别式根与系数的关系解决相关问题

一元二次方程的判别式

讨论根的个数

掌握

一元二次方程根与系数的关系

探究发现

理解

二预习指导

1预习目标

(1)如何求一元二次方程的根；

(2)判别式对方程根的影响(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0)；

(3)一元二次方程求根公式的形式及其应用；

(4)一元二次方程的根与系数的关系

2预习提纲

(1)一元二次方程的根

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为

ax2＋bx＝c

_________________★

因为a≠0，所以，4a2＞

①当b24ac＞0时，方程★

x1，2＝；

②当b24ac＝0时，方程★的右端为零，因此，原方程有两个相

x1＝x2＝；

③当b24ac＜0时，方程★的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；

②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝；

③当Δ＜0时，方程没有实数根

(2)一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根

，，

则有_______________；

________________

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝_________，x1·x2＝_____________这一关系也被称为“韦达定理”

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝p，x1·x2＝q，

即p＝(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的根因此 以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1＋x2)x＋x1·x2＝0

3典型例题

例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根

(1)x23x＋3＝0；(2)x2ax1＝0；

(3)x2ax＋(a1)＝0；(4)x22x＋a＝0

分析：一元二次方程的根的情况取决于它的判别式Δ在第(3)，(4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，因此在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论

解：(1)∵Δ＝324×1×3＝3＜0，∴方程没有实数根

(2)该方程的根的判别式Δ＝a24×1×(1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

，

(3)解法一：由于该方程的根的判别式为Δ＝a24×1×(a1)＝a24a＋4＝(a2)2

所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a1

解法二：

∴

当a＝2时x1＝x2＝1；

当a≠2时x1＝1，x2＝a1

(4)由于该方程的根的判别式为Δ＝224×1×a＝44a＝4(1a

①当Δ＞0，即4(1a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

，；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根

点评：在第(3)(4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题

例2已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根