单调性与最大(小)值（1）教案- 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docxVIP

单调性与最大(小)值（1）

一、课时内容：函数的单调性

二、课时目标

1.借助函数图象，会用符号语言表述函数单调性的定义.

2.会根据函数单调性的定义,证明一些简单函数的单调性,能归纳出证明单调性的-般步骤.

3.能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间，达到直观想象核心素养。

4.在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用。

三、重点与难点

1.重点:函数单调性的定义.

2.难点:用符号语言描述函数的单调性,根据单调性定义证明具体函数的单调性.

四、教学过程

1.明确学习目标,引出课题

前面我们学习了函数的定义和表示方法,知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样,我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中变化的规律了,这就是学习函数的基本性质的目的.

那么,什么是函数的基本性质呢?课本中给了我们这样的解释:变化中的不变形就是性质,变化中的规律性也是性质.我们知道,函数由定义域、值域和对应法则三个要素构成,因变量y随自变量x的变化而变化,因此，当x按某种规律变化时,y所呈现的规律性和不变性就是函数的性质.实际上,有些性质我们在初中阶段已经接触过.

设计意图:明确本节课学习目标,自然过渡到本节课学习的主题.帮助学生从一般观念上了解什么是“函数的性质”,便于开展研究.

[问题1]通过观察函数图像,往往能给我们以函数变化规律的启发.观察下面三个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗?

师生活动:

(1)学生结合初中学过的知识,用自然语言表述三个函数的单调性、第三个函数图像关于轴对称等;

(2)教师引导学生体会构成图象的基本元素是点,因此从图象整体上看,函数在某个区间上随的增大而增大,在这个区间内的图象呈，上升趋势,实际上是图象上点的横坐标增大时,对应的纵坐标随之增大;

(3)教师指出,在初中,我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质,这一性质就是我们这节课要学习的函数的单调性.设计意图:引导学生通过观察一般情况的函数图象，用图形语言和自然语言刻画函数的单调性.

2.观察具体函数的图象,实现从自然语言到符号语言刻画单调性的过渡教师讲授:初中阶段我们对单调性的认识是通过对具体函数图象的观察,从直观的角度,用自然语言进行定性的描述.接下来我们要考虑如何用符号语言,对单调性进行定量的刻画.实际上,这样做很有必要.

设计意图:引导学生体会用符号语言刻画函数单调性的必要性.

[问题2]如何用符号语言刻画函数的单调性?

师生活动:

指导学生先用自然语言从直观角度刻画:当x0时，y随x的增大而减小，当x0时,y随x的增大而增大。

(2)先锁定x0时的情况，引导学生体会“x0”可以用符号语言“x∈(,0)”表示。

(3)指导学生体会“增大、减小”描述的是不等关系,需要结合不等式的符号语言进行表述,“x的增大”通过“任取”来表示,“y减小”通过“”来表示.给出函数在x0时单调递减的符号语言。

对任意的，得到,当xx时,有，我们就说函数在区间(,0)上是单调递减的.

设计意图:引导学生先用符号语言描述具体函数

在给定区间的单调性.在借助具体函数给出准确描述的过程中,通过设计问题串,加深学生对借助不等式语言和逻辑用语描述函数性质的体会,突破难点.

追问:如何用符号语言描述“函数在x0时单调递增”?.

师生活动:

1.学生通过类比上面的过程,自主完成.

2.教师通过巡视，指导学生用准确的符号语言进行刻画.

设计意图:通过前面的讲解和引导,学生有了使用符号语言刻画具体函数的单调性的经验,对x0的情况,学生可以通过模仿自主完成.教师可以借此机会,落实学生的理解情况.

[问题3]你能用符号语言描述函数f(x)=|x|和函数的单调性吗?

师生活动:

(1)教师巡视指导,有部分学生可能会忘记函数f(x)=|x|的图象,提醒学生这是上节课学习的内容;

(2)提醒学生结合前面的例子,注意体会函数单调性的“局部性”,单调增和单调减时，f(x)与f(x)的不等号方向.

设计意图:问题2中,学生只是通过模仿刻画了f(x)=x在(0,+∞)上的单调性.问题3用来引导学生应用符号语言,刻画具体函数的单调性.通过问题3,提高学生对用符号语言刻画函数单调性的理解,为进一步理解一般函数单调性的定义作铺垫.

3.阅读教材,明确函数单调性的概念

[问题4]如何利用符号语言刻画-般函数的单调性呢?请同学们阅读教材76页到77页最后思考部分的内容,并回答如下问题:

(1)说说你对单调性定义的理解;

(2)你是如何理解定义中的“任意”、“都有”这些词的?

师生活动:学生阅读、思考并回答,然后教师结合前面的具体实例对函数单调性的概念做简要总结,包括画关键词(“任意”、“都有”)