圆的标准方程.docxVIP

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

第二学期

课题

圆的标准方程

教学目标

理解用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.

2.会判断点与圆的位置关系.

3.能根据所给条件求圆的标准方程，并能应用圆的标准方程解决简单的数学问题.

教学内容

教学重点：掌握圆的标准方程的求法及应用，判断点与圆的位置关系.

教学难点：会根据已知条件求圆的标准方程.

教学过程

创设情境，引入课题

多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.今天我就和大家一起学习：圆的标准方程.

类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。

探究新知

（1）圆的几何要素

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.

（2）圆的标准方程

在平面直角坐标系中，圆心A的坐标为，半径为r，为圆上任意一点，就是以下点的集合.

根据两点间的距离公式，，两边平方，得.

对于以上过程，我们容易得到，圆上的点满足方程；反过来，满足方程，说明点到圆心的距离等于半径，也就是点在圆上。我们把这个方程称为圆心为半径为r的圆的标准方程.

强调注意：

1.与直线的方程相比，它是关于x，y的二元二次方程，有a,b,r三个待定参量，也就是知道了圆心坐标和半径，可直接写出圆的标准方程，反之亦对！

2.括号内x,y的系数都是1,

3.括号内x减的那个数为圆心的横坐标，y减的那个数为纵坐标，括号与括号之间是+

特别地：圆心在原点时，a=0,b=0，所以圆的标准方程为

课堂练习已知圆心和半径写出圆的标准方程

1.圆心为(1,2)，r=2

2.圆心为(-1,2)，r=1

3.圆心为(1,-2),r=21

师生活动：学生口答完成，教师点评总结，引导学生进一步认识圆的标准方程的特征.

设计意图：初步认识圆的标准方程，了解圆的标准方程的结构特点.

思考交流应用方程

（1）点与圆的位置关系

例1求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，?7），

分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．

解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是

把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．

把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上

师生活动：学生自主完成，教师适时点拨.

设计意图：为加深对圆的标准方程的理解，教材设置了例1.例1分为两部分，首先根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程------从几何到代数；然后根据点的坐标是否满足圆的方程，来判断点与圆的位置关系------从代数到几何，充分体现了坐标法的思想.

探究：

一、点M0（x

（1）（x

（2）（x

（3）（x

二、点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？

在圆内，则；

在圆外，则

（2）求圆的标准方程的应用

例2的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.虽然已知的三个点不在同一条直线上，只有确定了，a,b,r,圆的标准方程就确定了.

解1：设所求的方程是.

因为，，三点都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程.

于是，即.

三式两两相减，得，解得，

代入，得.

所以，的外接圆的标准方程是.

在解法1中除了学到待定系数法的基本步骤外，还应该注意运算，课堂设置了如何解这个方程组的环节，注重基础，及基本的运算，尽量避免因为计算问题导致的失分。

另外，三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边中垂线的交点。分别求直线AB，BC的垂直平分线，垂直平分线的交点O就是圆心坐标，线段AO的长就是圆的半径。

法2：因为A（5，1），B（7，-3），所以AB的中点D的坐标为（6，-1），直线AB的斜率k

所以线段AB的垂直平分线l1

l1:y+1=12(x?6)

同理可得线段BC的垂直平分线l2的方程是x+y

圆心O的坐标是方程组

x?2

得x=2y=?3

所以圆心O的坐标是（2，-3）

半径是AO

所以，△ABC的外接圆的标准方程是

（x?2

师生活动：先思后说，先练后讲.教师启发引导学生比较、归纳得出求任意三角形外接圆的方程的两种方法.在分析过程中，突出图形在在分析问题中的辅助作用.

设计意图：为巩固圆的标准方程，教材设置了例2.用待定系数