《圆的标准方程》.docVIP

教学设计

教学设计

教学设计

课题名称

《圆的标准方程》

姓名

工作单位

年级学科

高一数学

教材版本

人教A版

一、教学内容分析

解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社）A版必修二，第四章第一节《圆的标准方程》第一课时。本节安排在“直线与方程”之后，是“坐标法思想”的进一步应用；本节试图在直角坐标系下来探索圆的标准方程。而圆也是最简单的曲线，本节的学习将为后面学习其它圆锥曲线及其方程奠定一定学习基础。可以说，本节内容整体上在知识体系中起到了承上启下的作用，具有重要的地位。

二、教学目标

1．知识与技能目标：

①正确掌握圆的标准方程及其推导过程。

②会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程。

③掌握点与圆位置关系的判定。

2．过程与方法目标：

①学会用坐标法的方法求动点轨迹方程——解析法。

②对学生进行数形结合，类比，坐标法，待定系数法等数学思想方法的渗透。

3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。

②利用圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。

三、教学重难点

重点：圆的标准方程推导及应用、坐标法的基本思想。

难点：根据不同的已知条件，利用直接法、待定系数法或几何性质法求圆的标准方程。

四、学情分析

本节内容是继学生学习了直线的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究椭圆、双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，能有效发展学生自主学习能力。

五、教学过程

教师活动

预设学生活动

设计意图

导入新课

通过第三章的学习，我们知道笛卡尔所创立的平面直角坐标系使得点有了坐标，直线有了方程，通过直线的方程用代数的方法研究他们的几何性质与位置关系，从而实现数与形的有机结合，也就是数形结合。那么我们所熟悉的圆能否用方程表示呢？这就是我们本节课学习的内容——圆的标准方程。

学生类比思考。

类比学习，通过直线的方程激活学生已有的认知结构，引出课题。

（二）创设情境

观赏图片了解生活中的圆，生活中处处充满着圆这样一个完美对称图形，那么大家知道它们蕴含着怎样的数学知识吗？

学生观赏图片并思考。

激发学生的学习兴趣。

（三）引导探究、构建方程

（1）回顾初中圆的定义

平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。其中定点指的是圆心确定的是圆的位置，定长是半径确定的是圆的大小。

用集合语言描述圆上一动点M所满足的关系，即P={M||MA|=r}。

（2）回顾利用坐标法求曲线方程的基本步骤。（建系设点、找关系写方程、化简验证）

（3）推导圆标准方程

①建系设点

要研究圆不妨把它放在我们所熟悉的平面直角坐标系内，已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一点M坐标为(x，y)，求该圆的方程

②找关系写方程

P={M||MA|=r}

利用点到点距离公式将几何条件转化为代数条件：

③化简、验证

将两侧进行平方得到

思考:是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程吗？

由上推导过程可知：

（1）若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方程;

（2）反之,若点M(x，y)的坐标适合方程，则说明点M与圆心A的距离为r,即点M在圆上。

因此我们把称为以点A(a，b)为圆心,r为半径的圆的标准方程。

师生共同回顾圆的定义。

学生进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法。

挑出完成较好的同学的推导过程，并用电脑白板展示给大家。

提醒同学们可类比直线的方程和方程的直线从两方面说明，同桌之间相互讨论试试看能否说明该方程为圆的方程。

回顾圆的定义，温故而知新，明确确定圆的两个关键因素——圆心和半径。

体会用坐标法研究圆的目的：使几何问题代数化。

通过学生自己证明培养学生的探究能力。调动学生的积极性，使更多的学生能参与到课堂中来。

通过与直线类比引导学生自己证明(x–a)2+(y–b)2=r2为圆的方程，得出结论。

巩固新知

题型一下列方程是圆吗?若是求出圆心和半径。

快问快答，学生口答，教师点评。

强化训练，并通过练习（4）渗透分类讨论的思想。

深入探究、归纳概括

探究点与圆的位置关系

写出圆心为A（2，-3）,半径长等于5的圆的标准方程，试判断点M1（5，-7），M2（1，2）是否在这个圆上？

探究：在平面几何