2023-2024学年七年级数学下册 专题02 角度计算的经典八大模型（解析版）.pdf

专题02角度计算的经典八大模型

【题型1双垂直模型】

模型1双垂直模型

【条件】∠B∠D∠ACE90°.

【结论】∠BAC∠DCE，∠ACB∠CED.

【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：∵AD是△ABC的高，

∴∠BHD+∠HBD＝90°，

∵BE是△ABC的高，

∴∠HBD+∠C＝90°，

∴∠BHD＝∠C，

∵∠C＝50°，

∴∠BHD＝50°．

【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交

于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）

A．90°B．120°C．150°D．160°

【答案】B

【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，

∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，

又∵CD⊥AB，

∴∠BDP＝90°，

∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．

故选：B．

【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB

上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．

【答案】20°，110°．

【解答】解：∵BE是AC上的高，

∴∠AEB＝90°，

∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，

∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，

∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，

∵CF是AB上的高，

∴∠AFC＝90°，

∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，

∵∠ABE＝20°，

∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°，

∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°，

∴∠BCH＝40°，

∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．

【题型2A字模型】

模型2A字模型

图1

【条件】图1中三种情况

【结论】∠1∠2

图2

【结论】∠1+∠2∠3+∠4

【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A∠3+∠4+∠A180°

∴∠1+∠2∠3+∠4

图3

【结论】∠1+∠2180°+∠A

【证明】∠1+∠2（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）180°+∠A

【典例2】探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+

∠2＝270°．

（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝

220°．

（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°

+∠A．

（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，

并说明理由．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°

∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．

∴∠1+∠2等于270°．

故答案为：270°；

（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，

故答案是：220°；

（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；

故答案为：180°+∠A；

（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，

∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF

∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF

∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）

又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，

∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．

【变式2-1】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠