2023-2024学年七年级数学下册 专题02 角度计算的经典八大模型（原卷版）.pdf

专题02角度计算的经典八大模型

【题型1双垂直模型】

模型1双垂直模型

【条件】∠B∠D∠ACE90°.

【结论】∠BAC∠DCE，∠ACB∠CED.

【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．

【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交

于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）

A．90°B．120°C．150°D．160°

【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB

上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．

【题型2A字模型】

模型2A字模型

图1

【条件】图1中三种情况

【结论】∠1∠2

图2

【结论】∠1+∠2∠3+∠4

【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A∠3+∠4+∠A180°∴∠1+∠2∠3+∠4

图3

【结论】∠1+∠2180°+∠A

【证明】∠1+∠2（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）180°+∠A

【典例2】探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+

∠2＝．

（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝．

（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．

（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，

并说明理由．

【变式2-1】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠

1+∠2等于（）

A．90°B．135°C．270°D．315°

【变式2-2】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A

＝度．

【变式2-3】在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，

则∠1+∠2＝度．

【变式2-4】如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B＝16°，

∠C＝42°，则∠P＝°．

模型3：8字模型

【条件】AE、BD相交于点C

【结论】∠A+∠B∠D+∠E.

【典例3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为

“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；

（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．

（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着

怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【变式3-1】（2023秋•石嘴山校级期中）如图1的图形我们把它称为“8字

形”．

（1）如图1，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）如图2，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求

∠P的度数；

（3）如图3，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，请直接写出∠P与∠

B、∠D的数量关系是．

【变式3-2】（2023春•汝阳县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．

（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；

（2）直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系；