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《垂直于弦的直径（第二课时）》教案

教学目标

教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用.

教学重点：垂径定理推论及应用.

教学难点：垂径定理推论的探究.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

回顾引入

复习旧知：

1．弦和直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

符号语言：

提出问题：图7垂径定理相当于已知①②推出③④⑤.那在这五个条件中改变两个条件是否能推出其它三个结论呢？

图7

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探究新知

探究1．如果条件改为①过圆心，③平分弦,可以推出②垂直于弦，④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧吗？

猜想1如果有一条直径平分弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.

画图：题设

结论

同学们自己动手画出符合题意的图形.

我们不妨按照被平分的弦AB是不是直径来分分类。

分为两类：

第一类说明当被平分的弦AB为直径时，猜想1不一定成立。

所以我们将猜想1被平分的弦改为不是直径的弦.如第二类图形所示.

猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

如图，几何语言如下：

∵CD是⊙O的直径，

AE=BE，

∴CD⊥AB，

练习：判断

垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（×）

2.平分弦的直径垂直于弦.（×）

3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.（×）

例1如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm,EM=6cm,求⊙O的半径.

分析：根据垂径定理的推论，得EM⊥CD,

连接OC,构造直角三角形OCM，应用勾股定理

解决问题.

例2.已知:如图，⊙O中，半径OE、OF分别平分弦AB、AC，交AB、AC于点D、G，交于点E、F，并且弦EF分别交AB、AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形.

新知应用

拓展探究

我们再来看这五个条件，我们发现垂径定理是已知①②推出③④⑤，

推论是已知①③推出②④⑤，接下来我们不妨拓展探究一下，看看①⑤能推出②③④吗？也就是说如果一条直线经过圆心，并且平分了弦所对的劣弧，那么它能否垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧呢？

猜想3：平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分弦所对的另一条弧.

如果CD是圆O的直径，并且弧AD=弧BD，就可以推出CD垂直平分AB，并且还能得到弧AC=弧BC.

思考：五个条件中任意选取2个条件作为已知条件，其他剩余条件作为结论，一共有多少种组合呢？

一共有10种组合，由①②推出了③④⑤是垂径定理，由①③推出了②④⑤是垂径定理推论，①⑤推出②③④也是成立的，那其他组合也都能力吗？

其他组合也都成立，请同学们课后自己探究给出证明.

思考：为什么在这五个条件中可以已知二个条件推出其他三个结论呢？

将直线CD满足的五个条件转化为直线CD经过不同的五个点，因为两点确定一条直线，所以只要知道两个条件成立就能推出其他三个结论成立.

即“知二推三”.以上为我们的拓展探究内容.

课堂小结

本节课我们一同学习了垂径定理的推论及简单应用.

布置作业

1．下列命题错误的是（）

A．垂直于弦的直径平分这条弦．

B．弦的垂直平分线经过圆心．

C．平分弧的直径平分这条弧所对的弦．

D．平分弦的直径垂直于这条弦．

2.如图，在⊙O中，若弦AB的长为8，半径OC平分弦AB，交AB于点D，CD=2，求⊙O的半径.

3.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，OE平分弦BC，AD⊥BC于D，则∠EAD与∠EAO相等吗？为什么？

知能演练提升

一、能力提升

1.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长为()

A.22 B.23 C.5 D.32

2.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC等于()

A.63 B.62 C.33 D.32

3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(注:尺、寸是我国古代计量单位,1米=3尺,1尺=10寸).问这根圆形木材的直径是寸.?

4.已知AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM=23,则弦AB的长为