01解三角形大题综合.docxVIP

01解三角形大题综合

1．（2023·广西玉林·统考三模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，△ABC的面积为，求的值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)利用正弦定理和两角和的余弦公式求解；

(2)利用面积公式和余弦定理求解.

【详解】（1）由已知及正弦定理得，

∵

∵，

∵∴.

（2）∵??∴,

又∵??∴,

所以．

2．（2023·贵州·校联考二模）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角C的大小；

(2)若，求c的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再用余弦定理可求出角；

（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化边为角，再利用辅助角公式及正弦三角函数的性质可解．

【详解】（1）由已知及正弦定理，得，

即，

∴．

又∵，

∴；

（2）由（1）及正弦定理得，

∵，

∴，

∴．

∵，∴，，

∴，

∴．

3．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

(1)求角A；

(2)若，求△ABC周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，

（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，，

（2）因为，，所以，故

由正弦定理得：

所以，

所以周长

因为，则，所以

故

求周长的取值范围为.

4．（2023·内蒙古包头·统考一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)求A；

(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)

(2)见解析.

【分析】（1）根据正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；

（2）对于条件①可得，进而或，不符合题意；

条件②代入，即可求出，再利用面积公式即可求出结果.

【详解】（1）在中，，

由及正弦定理得，

由余弦定理得，

化简得，所以，

结合，得．

（2）若增加条件①：，．

因为，

由，得，或，

所以不能唯一确定，不合题意．

若增加条件②：．

将代入，

得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．

由，得．

所以．

5．（2023·广西·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)证明：．

(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；

（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.

【详解】（1）已知，由余弦定理可得，

即，又由正弦定理，得，

角A，B为△ABC中内角，所以.

（2）△ABC中,，D为BC的中点，如图所示，

①②③

已知，，求证.

证明：，中，，

解得.

①③②

已知，，求证.

证明：，所以中，.

②③①

已知，，求证：.

证明：，在中，由余弦定理，

，所以

6．（2023·陕西·统考一模）已知函数．

(1)求函数的单调递减区间及对称轴方程；

(2)若在中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值．

【答案】(1)单调减区间为，；对称轴方程，

(2)

【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用整体代入法求函数的单调递减区间及对称轴方程；

（2）由，求出角A，余弦定理求的最大值，面积公式可求面积的最大值．

【详解】（1），

由，，得函数的单调减区间为，．

由，，得，，

所以函数的对称轴方程，．

（2）由得，由，∴，∴．

又，由余弦定理得，

所以，得，当且仅当时等号成立，

所以，

所以面积的最大值为．

7．（2023·青海西宁·统考一模）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．

(1)求C；

(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据正弦定理、余弦定理，结合等比中项的性质进行求解即可.

【详解】（1）根据正弦定理，由，

因为，所以，

于是由

，

因为，所以；

（2）因为c是a，b的等比中项，所以，

因为的周长为6，所以，

由余弦定理可知：

，或舍去，

所以外接圆的半径为.

8．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图在平面四边形ABCD中，，，，．

(1)求边BC；

(2)若，求四边形ABCD的面积．

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长；

（2）分别利用