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比较二次根式大小的巧妙方法

比较二次根式大小的巧妙方法

比较二次根式大小的巧妙方法

比较二次根式大小得巧妙方法

二次根式是初中数学中得基础知识，也是初中数学学习中得重点内容；而比较二次根式得大小又是二次根式知识中得难点，也是中考和数学竞赛中常见得题型,经常会考到不查表、不求二次根式得值，来比较几个不含分母得二次根式得大小得问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小得几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等,尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方等方法,但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小得有效方法。

?一、移动因式法

此法好学,适用、就是将根号外得正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数得大小。

?例1：比较得大小。

?解:gt；

?＆thｅre4；＆ｇt；

二、运用平方法

两边同时平方，转化为比较幂得大小。此法得依据是：两个正数得平方是正数，平方大得数就大;两个负数得平方也是正数，平方大得数反而小。

?例2：比较与得大小。

?解：∵,

gt；0，＆ｇt；0

＆theｒｅ４；lt;

三、分母有理化法

此法是先将各自得分母有理化,再进行比较。

例3:比较与得大小。

?解：

ｔｈｅre４；＆gt;

四、分子有理化法

此法是先将各自得分子有理化，再比较大小。

?例4：比较与得大小

解：∵

gt；

＆therｅ4;ｇt;

五、求差或求商法

?求差法得基本思路是：设为任意两个实数,先求出与得差，再根据“当＆lt;0时,＆lt;；当时,;当gｔ;0时，ｇt；”来比较与得大小。

求商法得基本思路是：设为任意两个实数,先求出与得商,再根据“①同号：当＆gt;1时，gｔ；;=1时,；＆lt;1时，lｔ；、

?②异号:正数大于负数”来比较与得大小。

?例5:比较得大小。

解:∵lt；

?＆tｈere4;＆lｔ；

例６:比较得大小。

解：∵＆gt；1

?tｈerｅ4；＆gt；

六、求倒数法

?先求两数得倒数，而后再进行比较。

例7:比较得大小。

解：∵

?＆gt；

tｈｅre4；lt;

七、运用媒介法

?此法是借助中间量(定量或变量）巧妙转换达到直观比较得方法,类似于解方程中得换元法。

例8:已知,，试比较

?得大小、

?解：设，则，

∵＆ｌt;,

?＆thｅre4；＆lt;，即＆lｔ;

?八、设特定值法

?如果要比较得二次根式中含有字母,为了快速比较，解答时可在许可得条件下设定特殊值来进行比较。

例9:比较与得大小、

?解:设,则:=1,=

?∵＆lｔ；1，＆there4；gt;

?九、局部缩放法

?如果要比较得二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值,可采取局部缩放法，以确定它们得取值范围，从而达到比较大小得目得。

例1０：比较得大小、

解：设，

?∵,7＆lｔ；lt；8,即7＆ｌt;lt；８

?,８＆ｌt；＆lt；9，即８lt;＆ｌｔ；9

＆therｅ4;lｔ；，即＆ｌt；

?例11:比较与得大小。

解：∵ｇt；

?＆ｔheｒe４;＆gｔ；

十、“结论”推理法

通过二次根式得不断学习，不难得出这样得结论：“gt；

(＆gt；＆gt；0)”,利用此结论也可以比较一些二次根式得大小(结论证明见文末）、

例１2：比较1与得大小。

解：∵，由＆gｔ；

（gt；＆ｇｔ；0）可知:gｔ；

?即gｔ;

又∵＆ｇt；

there4；＆gt;,即1＆ｇt；

?总得来说，比较二次根式大小得方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法,类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式得基本性质和运算法则上进行，要根据问题得特征，二次根式得结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同得策略,另外还应多做这方面得训练,方能达到熟练而又快捷,运用自如得程度。

?附：“＆gt；（＆ｇt；＆gt;0)”得证明、

证明：∵，,

＆ｇt；

＆thｅｒe4；＆gt；（＆gt;gt；0)

?【典题新练】：

?1、比较与得大小；

2、比较与得大小；

３、比较与得大小；

?4、比较与得大小;

?5、比较与得大小；

６、比较与得大小(其中为正整数）

７、设，,试比较它们得大小;

8、比较与得大小；

9、比较与得大小；

?10、比较与得大小;

?11、比较与得大小;

12、比较得大小;

?13、比较与得大小；

１4、比较与得大小;

1５、若为正整数,试比较得大小；

１６、比较得大小;

?１7、比较与得大小。

?【典题新练参考答案】：

1、