四中高中数学奇偶性提高知识新人教A版必修.docx

函数的奇偶性

【学习目的】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义推断函数的奇偶性；

3.驾驭利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及推断步骤

1．函数奇偶性的概念

偶函数：假设对于定义域内的随意一个x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)称为偶函数.

奇函数：假设对于定义域内的随意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)称为奇函数.

要点诠释：

〔1〕奇偶性是整体性质；

〔2〕x在定义域中，则-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

〔3〕f(-x)=f(x)的等价形式为：，

f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

〔4〕由定义不难得出假设一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

〔5〕假设f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2.奇偶函数的图象及性质

〔1〕假如一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，假如一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

〔2〕假如一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，假如一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.

〔1〕求函数的定义域，推断函数的定义域是否关于原点对称，假设不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，假设关于原点对称，则进展下一步；

〔2〕结合函数的定义域，化简函数的解析式；

〔3〕求，可依据及之间的关系，推断函数的奇偶性.

假设=-，则是奇函数；

假设=，则是偶函数；

假设，则既不是奇函数，也不是偶函数；

假设且=-，则既是奇函数，又是偶函数

要点二、推断函数奇偶性的常用方法

〔1〕定义法：假设函数的定义域不是关于原点对称，则马上可推断该函数既不是奇函数也不是偶函数；假设函数的定义域是关于原点对称的，再推断及之一是否相等.

〔2〕验证法：在推断及的关系时，只需验证=0及是否成马上可.

〔3〕图象法：奇〔偶〕函数等价于它的图象关于原点〔轴〕对称.

〔4〕性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数及一个偶函数的积是奇函数.

〔5〕分段函数奇偶性的推断

推断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法推断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其推断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后推断及的关系.首先要特殊留意及的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，及对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进展比较.

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有一样的单调性，即是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数〔减函数〕，则在区间[-b，-a]上也是增函数〔减函数〕；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即是偶函数且在区间[a,b]上是增函数〔减函数〕，则在区间[-b，-a]上也是减函数〔增函数〕.

【典型例题】

类型一、推断函数的奇偶性

例1.推断以下函数的奇偶性：

(1)；(2)f(x)=x2-4|x|+3；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；(4)；

(5)；(6)

【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进展推断.

【答案】〔1〕非奇非偶函数；〔2〕偶函数；〔3〕奇函数；〔4〕奇函数；〔5〕奇函数；〔6〕奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)对随意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；

(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4)

，∴f(x)为奇函数；

(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(6)，∴f(x)为奇函数.

【总结升华】断定函数奇偶性简洁失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此探讨函数的奇偶性必需“坚持定义域优先〞的原则，即优先探讨函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例〔5〕中假设不探讨定义域，在去掉的一定值符号时就非常费事.

举一反三：

【变式1】推断以下函数的奇偶性：

(1)； (2)； (3)；

(4).

【答案】〔1〕奇函数；〔2〕偶函数；〔3〕非奇非偶函数；〔4〕奇函数．

【解析】(1)的定义