4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册.pptx

单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质

单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的基本性质锐角的正弦函数与余弦函数任意角的正弦函数与弦函数温故知新

学习目标1.通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质.（重点）2.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值，值域、周期性、单调性).（难点）3.掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.（重点）

课文精讲观察图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα的定义.不难看出它们具有以下基本性质.导入

课文精讲正弦函数、余弦函数的定义域均是R.定义域最大(小)值、值域当自变量α∈R时，0≤|sinα|≤1，0≤|cosα|≤1.当α=2kπ+，k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值1；当α=2kπ-，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1.当α=2kπ，k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值1；当α=(2k+1)π，k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.

课文精讲因为函数v=sinα，u=cosα均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1，1].最大(小)值、值域

课文精讲根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R.周期性

课文精讲上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π.周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质.周期性

课文精讲单调性图①根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图①，当角α由增加到时，sinα的值由-1增加到1；

课文精讲单调性图②如图②，当角α由sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[，]上单调递增，在区间[，]上单调递减.

课文精讲单调性由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z，正弦函数在区间[2kπ-，2kπ+]上单调递增，在区间[2kπ+，2kπ+]上单调递减.由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z，余弦函数在区间[2kπ-π，2kπ]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[2kπ，2kπ+π]上单调递减，其值从1减到-1.

课文精讲正弦函数值和余弦函数值的符号根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点P(u，v)在上半平面时，正弦函数(v=sinα)值为正，即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正；

课文精讲正弦函数值和余弦函数值的符号当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负.

课文精讲正弦函数值和余弦函数值的符号同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负.

课文精讲正弦函数值和余弦函数值的符号xyO(-)(-)(+)(+)sinαxyO(+)(-)(-)(+)cosα正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示：

典型例题例1：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性.

典型例题例2：求函数v=cosα在区间上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.

已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a，b)，若，则cosα的值为()综合练习B

综合练习不等式sinx＜0，的解集为__________________.

本课小结单位加圆与正弦函数的基本性质定义域最大(小)值，值域周期性单调性正弦函数值和余弦函数值的符号

4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

核心知识目标核心素养目标1.掌握正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性.2.掌握正弦函数、余弦函数的符号.通过单位圆中正弦函数、余弦函数的定义探索正弦函数、余弦函数的性质的