第29讲-二项式定理(2).doc

高中数学奥林匹克与数学自主招生讲义(暑假)《第十一讲二项式定理(2)》

第十一讲二项式定理

知识要点

（1）二项式定理的基本形式：，此公式实际上是关于x,y的一个展开公式，应用非常广泛，其证明过程需要借助数学归纳法以及组合恒等式．

（2）二项式定理的展开式的结构以及相关结论

下面我们从几个方面来认识二项式定理：

二项式定理是关于x,y的一个恒等式，也就是说可以对x,y赋特殊值．

其展开式中有项，第项是，这个常用来求展开始特定的项．

展开中的称为二项式的系数(要与项的系数区分开)；

二项式系数的性质:(1),(2),(3)n为偶数，则第的二项式

系数最大；（4）n为奇数，则第、的二项式系数相等且最大；

（3）二项式定理的应用常见的简单题型

①求展开式中某项的系数或常数项;

②求展开式二项式系数的最大值;

③求展开式中指数为有理数或者无理数项的项数；

④求具有特殊结构的组合数的和；

（4）二项式定理在数学竞赛中的应用

①证明不等式，可以利用展开式放缩；

②解决部分数论问题，利用展开式求余数或解决整数整除问题等；

③求具有特殊结构的组合数的和或者证明组合恒等式；

④解决部分高斯函数背景下的整数问题；

⑤解决部分多项式问题;

(5)二项式定理常用技巧．

①拆项放缩；

②赋值构造；

二、典例分析

例1．多项式的展开式在合并同类项后，的系数是多少？

例2.已知：展开式中含有项的系数为30，则正实数的值为多少？

例3.展开式中系数为有理数的项数是多少?

例4.设是的展开式中项的系数，则为多少？

例5.求．

例6.求

例7.利用二项式定理：证明对一切，．

例8.利用二项式定理证明：对一切，都有．

例9.求末六位数字所组成的六位数．

例10.设的个位数．

例11.的所有形如的因子之和．

例12.数列的通项为，若为正整数，且的n为多少？

例13.求证：对于任意的正整数n,必可以表示为的形式，其中

例14.试证明：大于的最小正整数能被整除，

例15.已知数列（）满足：

求证：对于任意正整数，

是一次多

项式或零次多项式．

三、习题演练

1．求中项的系数．

2．求的展开式里的常数项是多少？

3．设，求的值．

4．求证：．

5．设，，，．求证：．

已知是正整数，且.

证明：;

证明：．

6．求正整数的所有具有形式约数的个数．

7．把写成的形式，为自然数，则等于多少？

8．当时，的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论？

9．整系数多项式满足：，证明：.

10．设的整数部分为，小数部分为，则是多少？

11．求证：对任意的正整数，不等式．

12．设，且．求证对于每个，都有．