2024-2025学年上海市高一上学期期中数学质量检测试卷.docx

2024-2025学年上海市高一上学期期中数学质量检测试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1.设集合，，，则______.

2.已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是______.

3.若幂函数的图像不经过原点，则的值为____________.

4.若集合，，且，则实数组成的集合是______.

5.已知，，则______（结果用、表示）.

6.若，则__________.

7.若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是______.

8.已知集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.

9.设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______.

10.已知，若，则最小值为_______．

11.已知，则______．

12.对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是______.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16愿每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

13.若，且满足，则下列不等式成立的是（）

A. B. C. D.

14.如果某种放射性元素每年的衰减率是，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（）

A B. C. D.

15.函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（）

A. B. C. D.

16.“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：

①任意.有

②如，有；

③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元；

④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元；

此时称为一个群

例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）

A.，则为一个群

B.，为一个群

C.，则为一个群

D.，则一个群

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（1）解关于的不等式组

（2）设，证明：若是奇数，则是奇数.

18.（1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值.

（2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围.

19.如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.

现规划了如下三项工程：

工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；

工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；

工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.

记这三项工程的总造价为亿元.

（1）求实数的取值范围；

（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.

20.若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的x,y∈Axy，都有，则称为“双集合”.

（1）判断是否为“双集合”，说明理由；

（2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合；

（3）求所有满足条件“双集合”.

21.勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）.记，.

（1）若，正方形的边长不小于，求的取值范围；

（2）图1中直角三角形斜边上中线记为，比较线段与长度的大小，并证明你的结论；

（3）事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小.