2025年高中数学人教A版选择性必修3同步复习资料 专题6.3 排列与组合（重难点题型精讲）（教师版）.pdfVIP

专题6.3排列与组合（重难点题型精讲）

1．排列

(1)排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，

这一点要特别注意.

(3)排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任

取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关

的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有

变化，就与顺序无关，就不是排列问题.

2．排列数

(1)排列数定义

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的排列数，用符号表示.

(2)排列数公式

n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.

(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元

素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，

有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.

②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，

共有m个因数.

3．全排列和阶乘

(1)全排列

特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中mn，

即有n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.

(2)阶乘

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成n!，

规定0!1.

(3)排列数公式的阶乘表示

.

4．组合

(1)组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m

个元素的一个组合.

(2)组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，

无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

(3)排列与组合的联系与区别

联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可

以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.

5．组合数与组合数公式

(1)组合数

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的组合数，用符号表示.

(2)组合数公式

①连乘表示：

.

这里，n,m∈，并且mn.

②阶乘表示：.

规定：1.

6．组合数的性质

(1)性质1：

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，

剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应

的，因此取法是一样多的.

利用这个性质，当m时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.

(2)性质2：+

这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)

个元素时，