山西大学附属中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docxVIP

山大附中2024~2025学年第一学期期中考试

高二年级数学试题

考试时间：120分钟总分：150分命题人：武海瑞

一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的倾斜角是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】可将直线转化成形式，根据求得

可变形为，，，选D

【点睛】本题考查了直线倾斜角与斜率的关系，属于基础题

2.已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可

详解】若直线与直线垂直，

则，得，或，

所以命题p是命题q的充分不必要条件，

故选：A

3.圆的圆心坐标和半径分别是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】把圆的方程化为标准方程即可求解

由可得

，

所以圆心坐标和半径分别是，

故选：D

4.已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】选择为空间向量的基底，表示出，借助空间向量的数量积求的模.

取为空间向量的基底，因为，，，

所以，.

因为，

所以，

所以.

故选：B

5.如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案.

由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，

则椭圆方程为，

则，且，

解得，，

故该卫星远地点离地面的距离为

，

又，所以.

故选：A

6.若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程.

圆，即，圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

由圆与圆关于直线对称，

可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得，

经检验，满足题意，则点的坐标为，

设圆心为坐标为，则，整理得，

即圆心的轨迹方程为.

故选：D.

7.已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（????）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用点差法求得m的值，进而可求得椭圆的焦距.

如图所示，

依题意，直线的斜率为，设，

则，且，

由两式相减得：，

于是，解得，

此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，

所以椭圆的焦距为.

故选：B.

8.已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.

如下图所示：

在椭圆中，，

则，

圆的圆心，半径，

圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，

，

由椭圆几何性质可得，即，

由圆的几何性质可得，

所以，

所以的最小值是.

故选：C.

二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线，则（）

A.当时，是圆

B.当时，是椭圆且一焦点为

C.当时，椭圆且焦距为

D.当时，是焦点在轴上的椭圆

【答案】AC

【解析】

【分析】分别将值代入方程，化简即可判断A、B、C，举例即可说明D.

对于A项，当时，曲线C可化为是圆，A正确；

对于B项，当时，曲线C可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误；

对于C项，当时，曲线是椭圆，且，所以，故C正确；

对于D项，当时，曲线不是椭圆，故D错误.

故选：AC.

10.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）

A.存在点满足

B.满足的点的轨迹长度是

C.满足平面的点的轨迹长度是

D.满足的点的轨迹长度是

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度，再根据判断即可；对B，由A可得在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的，进而可得弧长；对C，设面的法向量n=x,y,z，根据线面平行的向量方法可得的轨迹方程为，进而可得轨迹的长度；对D，根据求解的轨迹方程即可.

如图建立空间直角坐标系，则有A2,0,0，，，，，