高三数学总复习微专题平面向量——奔驰定理 .pdfVIP

奔驰定理：已知P为△ABC内一点，若mPAnPBtPC0，则S:S:St:n:m

△PAB△PAC△PBC

推广：

1.G为△ABC重心，则GAGBGC0

2.O为△ABC外心，则sin2AOAsin2BOBsin2COC0

3.I为△ABC的内心，则aIAbIBcIC0

sinAIAsinBIBsinCIC0

4.H为△ABC的垂心，则tanAHAtanBHBtanCHC0

证明：

1AF

AHFC

S2FCtanCtanB

△AHC

S1FBAFtanC

△AHBAHFB

2tanB

StanB

△AHC

同理，

StanA

△CHB

根据奔驰定理，可得tanAHAtanBHBtanCHC0

I为△ABC的旁心，则sinAIAsinBIBsinCIC0

5.AAAA

6.已知P为△ABC外一点，若mPAnPBtPC0，则S:S:St:n:m

△PAB△PAC△PBC

应用

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

=ᵆᵃᵃ+ᵆᵃᵃ

1.已知点ᵃ为ᵮᵃᵃᵃ的内心，ᵃᵃ=2,ᵃᵃ=3,ᵃᵃ=4，若ᵃᵃ，则ᵆ+ᵆ=__________．

2

【答案】

3

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

3ᵃᵃ+2ᵃᵃ+4ᵃᵃ

⃑⃑⃑⃑

=

【解析】分析：先根据三角形内心向量性质得ᵃᵃ，再根据向量表示唯一性确定x,y值，即得结果.

3+2+4

详解：因为点ᵃ为ᵮᵃᵃᵃ的内心，

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

ᵄᵄᵃ+ᵄᵄᵃ+ᵅᵄᵃ

⃑⃑⃑⃑

=

所以ᵄᵃ,其中O为任一点，a,b,c为三角形三边.

ᵄ+ᵄ+ᵅ

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

3ᵃᵃ+2ᵃᵃ+4ᵃᵃ24

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

==ᵃᵃ+ᵃᵃ

因此ᵃᵃ,