2024杨浦数学初三一模18题解法 .pdfVIP

2024杨浦数学初三一模18题解法

18.已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,

-3)$．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点$P$为第三象限内抛物线上一点，过点$P$作$PE\perpx$轴于点E，

是否存在点$P$，使得以$P,E,B$为顶点的三角形与$\bigtriangleup

AOC$相似？若存在，写出所有点$P$的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点$Q$为抛物线上一点，以$Q$为圆心的圆与$x$轴相切于点D，求点

D的坐标．

【分析】

(1)设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，把点C的坐标代入求出

$a$的值即可得到解析式；

(2)分两种情况：当$\anglePEB=\angleCOA=90^{\circ}$时，此时以

$PE$为直角边的直角三角形与$\bigtriangleupAOC$不可能相似；当

$\anglePBE=\angleCOA=90^{\circ}$时，过点$P$作$PF\perpy$轴

于点F，易证$\bigtriangleupPFB\backsim\bigtriangleupCOA$，根据

相似三角形的性质可求得点$P$的坐标；

(3)设点$Q(x,y)$，则点D的坐标为$(x,0)$，根据圆的性质可知：圆心到直

线的距离等于圆的半径，即$-x=y+3$或$-x=y-3$.分两种情况：当

$-x=y+3$时，把点Q的坐标代入抛物线的解析式中求得y的值即可得

到点D的坐标；当$-x=y-3$时，把点Q的坐标代入抛物线的解析式中

求得y的值即可得到点D的坐标．

【解答】

(1)解：设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，把点C的坐标代入得：

$-3=a\times(-1+1)(-3-3)$，解得：$a=\frac{1}{3}$，

$\thereforey=\frac{1}{3}(x+1)(x-3)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x

-1$.

(2)解：不存在．理由如下：若$\anglePEB=\angleCOA=

90^{\circ}$时，此时以$PE$为直角边的直角三角形与$\bigtriangleup

AOC$不可能相似；若$\anglePBE=\angleCOA=90^{\circ}$时，过点

$P$作$PF\perpy$轴于点F，易证$\bigtriangleupPFB\backsim

\bigtriangleupCOA$.$\becausePF=BE=2$$PF/CO=BE/OA=

2/3$$\thereforeP(-\frac{4}{3},-\frac{8}{3})$或$(2,\frac{4}{3})$．

(3)解：设点$Q(x,y)$，则点D的坐标为$(x,0)$．$\becauseQD与x轴相

切$$\thereforey=-x$$\therefore-x=y+3或-x=y-

3$$\thereforey_{1}=-x-3=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x-

4$$\thereforeD_{1}(4,0)$或$(x_{2},0)$．当$-x=y+3$$\therefore

y_{2}=-x+3=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x$$D_{2}(\frac{9}{4},0)$或

$(x_{3},0)$．当$-x=y-3$$\thereforey_{3}=-x-3=\frac{1}{3}x^{2}

-\frac{2}{3}x-6$$D_{3}(6,0)$或$(x_{4},0)$．