解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形（6大题型）-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.docx

解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形

题型一：三角恒等变换与三角函数

（24-25高三上·河南·月考）已知向量，函数.

(1)求的最小正周期;

(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】（1），

的最小正周期；

（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，

即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，

令，

作出的图象与直线，如图.

由图知，当时，的图象与直线有两个交点，

实数的取值范围为.

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：

（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)

（2）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，

2、再通过辅助角公式“化一”，化为

3、辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).

4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：

一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。

1．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，已知函数的图象过点和，且满足.

(1)求的解析式；

(2)当时，求函数值域.

【答案】(1);(2)

【解析】（1）由，得，则

又，即得，

由，得

根据图象可知，解得

.

（2），故，

，即的值域为0,2.

2．（24-25高三上·北京·期中）已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求不等式的解集；

(3)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求的取值范围.

①在有恰有两个极值点；

②在单调递减；

③在恰好有两个零点.

注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析

【解析】（1）因为.

所以的最小正周期为.

（2）因为，即，

则，解得，

所以不等式的解集为.

（3）因为，所以.

若选择①：因为在有恰有两个极值点.

则，解得，

所以的取值范围；

若选择②：因为在单调递减

当时，函数递增，

所以在不可能单调递减，所以②不符合题意；

若选择③：因为在恰好有两个零点.

则，解得，

所以的取值范围.

题型二：正余弦定理解三角形的边与角

（24-25高三上·福建南平·期中）在锐角中，角所对的边分别为.已知

(1)求；

(2)当，且时，求.

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）因为，

所以，即，

所以，

所以，

又因为为锐角，所以，

所以

（2）由（1）知且为锐角，

所以，

所以，即，

所以.解之得

利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；

2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

1．（24-25高三上·江苏苏州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)证明：；

(2)若，，求.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）由已知结合正弦定理，得，

化简得，

即，

所以，

又，所以，

故由正弦定理得.

（2）因为，所以，

所以，

所以，

结合，可得，故，

由（1）知，

由余弦定理得，

则，

化简得，

代入，整理得，所以，

所以，

故.

2．（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知．

(1)若，，求；

(2)若，，求的周长．

【答案】(1)；(2)或.

【解析】（1）根据余弦定理，已知，，.

将，，代入余弦定理公式可得：

化简得

解得（因为边长不能为负，舍去）.

（2）已知，由正弦定理可得.

因为，可得.

因为，，时有两解（为锐角或钝角）.

当为锐角时，.

，，.

则.

再由正弦定理，可得.

，可得.

此时三角形周长为.

当为钝角时，.

.

由正弦定理，可得.

，可得.

此时三角形周长为.