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第二章自动控制系统的数学模型

本章要点

系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。本章主要介绍从微

分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。内容包括系统微

分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、

系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。

为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静

态性能指标。而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状

态的数学表达式描述系统的动态过程。这种描述系统各变量之间关系的数学表达

式称为系统的数学模型。

系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。解析法是从系统元件所遵循的

一些基本规律出发去推导系统的数学模型。如果不了解系统的结构和运动规律，

则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出

的输出响应信号建立其数学模型。

系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时

域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结

构图(几何模型)。

第一节系统的微分方程

微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。当系统的输

入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。

一、系统微分方程的建立步骤

1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。

2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。

联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。

3．将方程整理成标准形式。即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量

的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一

定物理意义的表示形式，如时间常数等。

二、举例说明

例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。

解：由图可知，输入量为u(t),输出量为u(t)，根据电路遵循的基尔霍夫电压

io

定律，有

9

u(t)i(t)Ru(t)

io

du(t)

i(t)Co

dt

消去上式中的中间变量i(t)，得

du(t)

u(t)RCou(t)

idto图2-1RC电路

du(t)

整理得RCou(t)u(t)

oi

dt

例2-2求直流电动机的微分方程。

解：直流电动机电路如图2-2所示，它是直流调速系统的控制对象，主要分析改

变电枢电压u对电动机转速n的影响。因此电枢电压u为输入量，转速n为输

aa

出量，而将负载转矩TL作为电动机的外扰动量。

直流电动机各物理量间的基本关系如下：

di

uiRLae

aaaadt

TKi

eTa