高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P225 第9章 微分方程.doc

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第九章微分方程

习题9.1

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

解:方程（1）是二阶非线性微分方程。

方程（2）是三阶线性微分方程。

方程（3）是二阶线性微分方程。

方程（4）是一阶非线性微分方程。

2.检验下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1），则有，即满足方程，所以是方程的解。

（2），，，则有

，既满足方程，所以是方程的解。

（3）,，，则

即函数不满足方程，所以，不是方程的解。

（4），，

即函数满足方程，所以函数是方程的解。

3.设曲线在点处的切线的斜率为，试建立该曲线所满足的微分方程。

解：设该曲线的方程为，则曲线在点处的切线的斜率为，由题意该曲线所满足的微分方程为

用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压对于温度的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比。

解：

习题9.2

1.求下列微分方程的通解：

(1)

(2)

(3)

解：（1）该方程是可分离变量的方程，分离变量有

方程两边积分有，有，该方程的通解为

（2）该方程是可分离变量的方程，分离变量有

方程两边积分有，有，该方程的通解为

（3）该方程是可分离变量的方程，分离变量有

方程两边积分有，有，该方程的通解为

2.求下列微分方程的特解：

(1)

(2)

解：(1)该方程是可分离变量的方程，分离变量有

方程两边积分有，有，该方程的通解为,又,代入通解中有,得,所以,该方程的特解为

(2)该方程是可分离变量的方程，分离变量有

方程两边积分有，有

该方程的通解为,又,代入通解中有,得,所以,该方程的特解为.

3.设曲线过点,且它任意一点的切线的斜率等于横坐标的两倍,求这曲线的方程。

解:设该曲线的方程为，则曲线在点处的切线的斜率为，由题意该曲线所满足的微分方程为

由,方程两边取不不定积分,存在常数C,使得,再由,得,所以,所求曲线方程为

4.求下列微分方程的通解或特解：

(1)

(2)

(3)

(4)

解:（1）该方程变形为

这是齐次方程，令，则，则原方程变为

即为

分离变量得，两边积分有

即，还原变量得

，原方程的通解为

（2）该方程变形为

这是齐次方程，令，则，则原方程变为

即为，两边积分有

即，还原变量得原方程的通解为

（3）该方程变形为

这是齐次方程，令，则，则原方程变为

即，两边积分有

即，还原变量得原方程的通解为

，即

（4）该方程变形为

这是齐次方程，令，则，则原方程变为

即为分离变量得两边积分有

即，还原变量得原方程的通解为

由，有，得，所求原方程的特解为

5.求下列微分方程的通解：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）该方程是一阶线性微分方程，其中，由一阶线性方程通解公式，有

（2）该方程是一阶线性微分方程，其中，由一阶线性方程通解公式，有

（3）该方程是一阶线性微分方程，其中，由一阶线性方程通解公式，有

(4)该方程不是以为未知函数的一阶线性方程，方程变形为，即

，这是以为自变量，未知函数的一阶线性方程，其中

，它的