2024_2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换一课一练含解析新人教A.docxVIP

PAGE

PAGE1

第五章三角函数

5.5三角恒等变换

5.5.2简洁的三角恒等变换

第1课时简洁的三角恒等变换(1)

考点1半角公式的理解和简洁应用

1.(2024·山东青岛四校高一下期中考试)已知sin2α=13,则cos2α-π4

A.-13 B.-23 C.13

答案：D

解析：cos2α-π4=1+cos2α

2.(2024·安徽芜湖高一上期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为()

A.34 B.35 C.12

答案：B

解析：设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725。又β=π2-α2,所以cosβ=cosπ2-α2=sinα2

3.(2024·西安一中单元检测)cosα=725,0απ2,则sinα2为(

A.45 B.35 C.25

答案：B

解析：∵α∈0,π2,sinα2=1-cosα

4.(2024·浙江诸暨中学高一段考)若θ∈(π,2π),则1-cosθ

答案：-tanθ

解析：∵θ∈(π,2π),∴sinθ0,∴1-cosθ1+cosθ=1

考点2积化和差公式的理解和简洁应用

5.(2024·浙江金华一中高一期中考试)已知cos2α-cos2β=m,那么sin(α+β)sin(α-β)=()。

A.-m2 B.m2 C.-m

答案：C

解析：方法一:sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos2α-cos2β)=-12(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-m,故选

方法二:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)·(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-m,故选C。

6.(2024·银川一中模块测试)给出下列四个关系式:①sinαsinβ=12[cos(α+β)-cos(α-β)];②sinα·cosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];③cosαcosβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];④cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α

其中不正确的个数是()。

A.1 B.2 C.3 D.4

答案：B

解析：①③不正确,②④正确。

7.(2024·广州调研)已知sinθ+π6·sinθ-π6=

答案：∵sinθ+π6sinθ

∴-12cosθ

即-12cos2θ

∴cos2θ=-35。又cos2θ=1

∴1-tan2θ1+ta

考点3和差化积公式的理解和简洁应用

8.(2024·河南林州一中高二上开学考试)在△ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,则△ABC是()。

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案：B

解析：由正弦定理,可得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,即sin2A+sin2B=sin2C,由和差化积公式,可得2sin(A+B)·cos(A-B)=2sinCcosC,即cos(A-B)=-cos(A+B),即cos(A-B)+cos(A+B)=0,所以cosAcosB=0,所以A=90°或B=90°,故选B。

9.(2024·西北工大附中单元测评)下列四个关系式中正确的个数为。?

(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ;

(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ;

(3)sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosθ

(4)sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ。

答案：0

解析：(1)错误,右边应是2sin4θcosθ。

(2)错误,右边应是2sin4θsinθ。

(3)错误,右边应是-2cos4θsinθ。

(4)错误,左边为异名三角函数,应先用诱导公式化同名三角函数后再化积,即sin5θ+cos3θ=sin5θ+sinπ2-3θ=2sin

10.(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中,∠C=60°,则sinA+sinB等于()。

A.2sinA+B2

C.3sinA-B2 D.

答案：D

解析：∵sinA+sinB=2sinA+B2cosA-B2。又∠C=60°,∴∠A+∠B=120°,∴sinA+sinB=2sin60°cos

11.(2024·上海浦东区调考)求值:sin75°-sin15°。

答案：sin75°-sin15°=2cos75°+15°2·sin75°-15°2=2cos45°·sin30

考点4半角公式、和积互化公式的敏捷应用问题

12.(2024·南昌检测)若cos2αsinα-π4=-22,则sinα

A.-72 B.-12 C.12

答案：C

解析