2024_2025学年新教材高中数学课时检测9平面向量数量积的坐标表示含解析新人教A版必修第二册.docVIP

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平面对量数量积的坐标表示

[A级基础巩固]

1．a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于()

A．23 B．57

C．63 D．83

解析：选D3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D.

2．已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是()

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随意三角形

解析：选B由已知eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－3，3)，所以cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(―→))·\o(AC,\s\up6(―→)),|\o(AB,\s\up6(―→))||\o(AC,\s\up6(―→))|)＝eq\f(（1，1）·（－3，3）,\r(2)·3\r(2))＝0，则A＝eq\f(π,2).故选B.

3．平面对量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()

A.eq\r(3) B．2eq\r(3)

C．4 D．12

解析：选Ba＝(2，0)，|b|＝1，

∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.

∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝2eq\r(3).

4．若向量eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·eq\o(AC,\s\up6(―→))＝7，则n·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝()

A．－2 B．2

C．－2或2 D．0

解析：选B∵eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→))，∴n·(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→)))＝n·eq\o(AC,\s\up6(―→))，即n·eq\o(AB,\s\up6(―→))＋n·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝n·eq\o(AC,\s\up6(―→))，∴n·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝n·eq\o(AC,\s\up6(―→))－n·eq\o(AB,\s\up6(―→))＝7－5＝2.

5．已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))

解析：选D向量a在向量b上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(－6,2)·eq\f(b,2)＝－eq\f(3,2)b，其坐标为－eq\f(3,2)(1，eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).故选D.

6．设向量a＝(x＋1，－x)，b＝(1，2)，且a⊥b，则|a|＝________．

解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，则x＋1＋(－x)×2＝0，解得x＝1，则|a|＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).

答案：eq\r(5)

7．已知a＝(－1，3)，b＝(1，y)．若a与b的夹角为45°，则y＝________．

解析：a·b＝－1＋3y，|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(1＋y2)，

∵a与b的夹角为45°，∴cos45°＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1＋3y,\r(10)×\r(1＋y2))＝eq\f(\r(2),2).

解得y＝2或y＝－eq\f(1,2)(舍去)．

答案：2

8．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝eq\r(3)，则b＝________．

解析：设b＝(x，y)．

∵|b|＝eq\r(x2＋y2)＝1，∴x2＋y2＝1.

∵a·b＝eq\r(3)x＋y＝eq\r(3)，∴x2＋[eq\r(3)(1－x)]2＝1.

∴4x2－6x＋2＝0.∴2x2－3x＋1＝0.

∴x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，∴y1＝0，