经济数学 课件 ch02 导数、微分及其应用.pptx

导数、微分及其应用第二章经济数学高等职业教育公共基础课规划教材

01导数的概念

两个实例已知变速直线运动物体的路程s是时间t的函数s=s（t），求该物体在时刻t0的瞬时速度v（t0）。对于变速直线运动，若从t0到t0+Δt这一时间间隔Δt内物体运动的路程为Δs=s（t0+Δt）-s（t0）。导数的概念

导数的概念也就是说，变速直线运动物体的瞬时速度就是当时间增量趋于零时，路程函数的增量与时间的增量之比的极限。已知一平面曲线L的方程为y=f（x），P（x0，y0）为该曲线L上的一点，求曲线在该点处的切线斜率。

导数的概念图2-1，实例2。

导数的概念上述两个实例，尽管实际意义不同，但解决它们的数学方法是相同的，都可以归结为函数改变量与自变量之比，当自变量改变量趋于零时的极限。在自然科学和工程技术中，还有许多问题最终都可以归结为讨论此类数学模型的极限，数学上这种特定的极限叫做函数的导数。

导数的概念导数的概念设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（Δx≠0）。称函数y=f（x）在点x0处可导，并称该极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数。

若函数y=f（x）在区间I上每一点都可导，则称y=f（x）在区间I上可导。此时对每一个x∈I，都对应有y=f（x）的一个确定的导数f′（x），这样的对应就构成了一个新的函数，称f′（x）为y=f（x）在I上的导函数，也简称为导数。导数的概念

01基本初等函数的导数公式计算函数的增量Δy；03求极限02计算函数增量与自变量增量的比值Δy/Δx；导数的概念

导数的概念前面利用导数的定义推导出了几个基本初等函数的求导公式。其他基本初等函数求导公式我们不再一一推导，但它们是完成函数求导工作的基本工具。

导数的几何意义由前面讨论知，函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）在几何上就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））的切线斜率。如果曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））的导数存在，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））的切线方程是y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。导数的概念

导数的概念由解析几何知道，过切点（x0，f（x0））且与切线垂直的直线称为曲线y=f（x）在该点的法线。在自然科学和工程技术中，还有许多问题最终都可以归结为讨论此类数学模型的极限，数学上这种特定的极限叫做函数的导数。

导数的概念【例2.5】求曲线y=√x在点P（1，1）处的切线方程与法线方程。

函数的可导性与连续性的关系导数的概念如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数y=f（x）在点x0处必连续。然而，该定理的逆命题却不一定成立，即一个函数在某点处连续，但是在该点处不一定可导。

02导数的运算法则

导数的运算法则前面一节根据导数的定义求出了部分基本初等函数的导数，但对于一般的函数而言，利用定义方法求一个函数的导数往往很困难。本节将给出函数的求导法则，借助这些法则和基本初等函数的导数公式，就能方便地求出常见初等函数的导数。

导数的运算法则导数的四则运算法则如果函数u=u（x），v=v（x）都在点x处具有导数，则它们的和、差、积、商都在点x处具有导数。

复合函数的求导法则对于复合函数的导数，能否直接利用基本初等函数的导数公式求导呢？求函数y=sin2x的导数，能否直接利用（sinx）′=cosx，得到（sin2x）′=cos2x？导数的运算法则

导数的运算法则也就是说，若y是x的复合函数，u是中间变量，那么y对x的导数等于y先对u的导数，再乘以u对x的导数，称此法则为复合函数的链式法则。复合函数求导法则可以推广到有限次复合情形。

隐函数的求导法则导数的运算法则如果变量x、y之间的函数对应关系由一个含x、y的二元方程F（x，y）=0所确定（y没有解出）。此时x、y的函数关系隐含在方程中，称这种由二元方程所确定的函数为y对x为隐函数。

导数的运算法则相应地，称由y=f（x）表示的函数为显函数。把一个隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化。有些隐函数，如方程y3+2siny-x=0所确定的函数，y难以解出。

由上例可以得到隐函数求导步骤是：02从一次方程中解出y′即为所求的隐函数y对x的导数。01将方程F（x，y）=0两端对x求导（其中视y为x的函数），得到一个关于y′的一次方程；导数的运算法则

高阶导数由物理学知识可知，作变速直线运动物体的速度v（t）是路程函数s=s（t）对时间t的导数。即v（t）=s′（t），若速度仍然是时间t的函数，则它对时间t的导数是物体的加速度，即a=v′（t）=[s′（t）]′，于是，加速度是路程函数s=s（t）对时间t的导数的导数，称为二阶导数。导数的运算法则

导数的运算法则相应地，把y=f（x）的导数f′（x）叫做函数y=f（x）的