解析几何专题汇编9过定点.docVIP

第九局部、过定点问题

1．(07山东) 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

〔1〕求椭圆的标准方程；

〔2〕假设直线与椭圆相交于两点〔不是左右顶点〕，且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

解：〔1〕由题意设椭圆的标准方程为，

由得：，

椭圆的标准方程为．

〔2〕设．

联立

得 ，那么

又．

因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

，即．．

．．

解得：，且均满足．

当时，的方程，直线过点，与矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

2、〔2011山东文〕在平面直角坐标系中，椭圆.如下图，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

〔Ⅰ〕求的最小值；

〔Ⅱ〕假设?，

〔i〕求证：直线过定点；

〔ii〕试问点，能否关于轴对称？假设能，求出此时的外接圆方程；假设不能，请说明理由.

【解析】〔Ⅰ〕由题意:设直线,

由消y得:,设A、B,AB的中点E,那么由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得

，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.

〔Ⅱ〕〔i〕证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且?，所以,又由〔Ⅰ〕知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).

〔ii〕假设点，关于轴对称,那么有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,

由〔i〕知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述,点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.

3、〔2008安徽理科〕设椭圆过点，且着焦点为

〔Ⅰ〕求椭圆的方程；

〔Ⅱ〕当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

解(1)由题意：

，解得，所求椭圆方程为

(2)方法一

设点Q、A、B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记,那么且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是，

，

从而

，〔1〕，〔2〕

又点A、B在椭圆C上，即

〔1〕+〔2〕×2并结合〔3〕，〔4〕得

即点总在定直线上

方法二

设点，由题设，均不为零。

且

又四点共线，可设,于是

〔1〕

〔2〕

由于在椭圆C上，将〔1〕，〔2〕分别代入C的方程整理得

〔3〕

(4)

(4)－(3)得

即点总在定直线上

第十局部、探索点是否存在问题

1、〔2007湖南〕双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

〔I〕假设动点满足〔其中为坐标原点〕，求点的轨迹方程；

〔II〕在轴上是否存在定点，使·为常数？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．

解：由条件知，，设，．

解法一：〔I〕设，那么那么，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

〔II〕假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

那么是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

解法二：〔I〕同解法一的〔I〕有

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

那么是上述方程的两个实根，所以．

．

由①②③得．…………………④

．……………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

〔II〕假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由〔I〕有，．

以上同解法一的〔II〕．

2、〔2008山东〕如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

〔Ⅰ〕求证：三点的横坐标成等差数列；

〔Ⅱ〕当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；

〔Ⅲ〕是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点