2025届新高考一轮复习特训 立体几何初步（含解析）.docxVIP

2025届新高考一轮复习特训立体几何初步

一、选择题

1．平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为()

A.0 B. C. D.

2．已知正方体的棱长为，E，F，G分别是，，的中点，则过这三点的截面面积是()

A. B. C. D.

3．已知平面，，，，则“”是“且”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．如图,某车间生产一种圆台形零件,其下底面的直径为,上底面的直径为,高为,已知点P是上底面圆周上不与直径端点重合的一点,且,O为上底面圆的圆心,则与平面所成的角的正切值为()

A.2 B. C. D.

5．已知长方体的一条棱长为2,体积为16,则其外接球表面积的最小值为()

A. B. C. D.

6．如图,在棱长为1的正方体中,E为线段的中点,F为线段的中点.直线到平面的距离为().

A. B. C. D.

7．在三棱柱中,,侧棱底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积的最小值为,则该三棱柱的侧面积为()

A. B. C. D.3

8．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则的长可以是()

A. B. C. D.

10．如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则下列结论成立的是()

A.平面PCD B.平面PDA C.平面PBA D.平面PBC

11．如图，正方体的棱长为1，动点P在对角线上，过P作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为L，面积为S，，，下面关于函数和的描述正确的是()

A.最大值为；

B.在时取得极大值；

C.在上单调递增，在上单调递减；

D.在上单调递增，在上单调递减

三、填空题

12．如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.

13．已知正三棱柱的各棱长都等于2，点E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________.

14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________.

四、解答题

15．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，O是BC的中点，.

（1）证明：平面平面BCD.

（2）若点E是棱AC上的一点，则从①，②二面角的大小为，③三棱锥的体积为这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

16．如图，垂直于梯形所在平面，，F为线段上一点，,，四边形为矩形.

(1)若F是的中点，求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若点F到平面的距离为，求的长.

17．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面四O的内接正三角形，且的边长为，点E在母线上，且，.

（1）求证：，并求三棱锥的体积；

（2）若点M为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面的距离.

18．如图，在多面体中，已知四边形是菱形，平面.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，，，与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

19．如图所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点.

求证：(1)平面；

(2)平面.

参考答案

1．答案：A

解析：由题意，，，

又，，

所以，即有，

故选：A.

2．答案：D

解析：如图所示，分别取，，的中点H，M，N，连接，，，，

在正方体中，可得，，，

所以经过点E，F，G的截面为正六边形，

又因为正方体的棱长为2，

在直角中，可得，

所以截面正六边形的面积为.

故选：D.

3．答案：C

解析：由于，所以，，

若，则，，故充分性成立，

若，，设，，

则存在直线使得，所以，由于，故，

同理存在直线使得，所以，由于，故，

由于a，b不平行，所以a，b是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，

故选：C.

4．答案：A

解析：设为下底面圆的圆心,连接,和,

因为,所以,

又因为,,,平面,所以平面,

因为是该圆台的一条母线,所以O,,C,P四点共面,且,

又平面,所以平面平面,

又因为平面平面,所以点P在平面的射影在直线上,

则与平面所成的角即为,

过点C作于点D,因为,,

所以.

故选：A.

5．答案：C

解析：设长方体的长、宽、高分别为a,b,2,

所以长方体的体积为,解得：,

设长方体的外接球的半径为R,

所以,即,

即,当且仅当时取等,

所以,

所以其外接球表面积的最小值为.

故选：C.

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