23.1 二次根式（第1课时）八年级数学上册（人教版五四制）.pptx

23.1二次根式（第1课时）第23章二次根式教师xxx

二次根式的概念二次根式的双重非负性二次根式有意义的条件010302CONTANTS目录

二次根式的概念01

正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，用表示.1.什么是一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用表示.复习引入

3.平方根的性质是什么?一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.复习引入

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．二次根式的概念探究新知

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h＝5t2．如果用含有h的式子表示t，那么t为_______．你发现这些结果有哪些共同特征？用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：探究新知

，，，；它们表示一些正数的算术平方根．我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0．上面问题中，得到的结果分别是：.探究新知

一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．1．被开方数a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；2．“”中一般把根指数2省略，写成“”．探究新知

例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典型例题

二次根式有意义的条件02

当x取何值时，下列根式有意义？二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0，即a≥0.(2)由-2x+1≥0，得x≤.探究新知

解：由x2≥0，得x是任意实数，∴当x为任意实数时，都有意义.思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？由x3≥0，得x≥0，∴当x≥0时，有意义.探究新知

例2当a取何值时，下列根式有意义？若有分母，则还需保证分母不为0.二次根式有意义的条件典型例题

例3当x是什么实数时，下列各式有意义？提示：关键是被开方数a≥0；若有分母，分母不为0.典型例题

1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解（1）由题意得x-1＞0，∴x＞1.（2）∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.针对练习

2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.针对练习

1.单个二次根式如有意义的条件：A≥0；2.多个二次根式相加如有意义的条件：3.二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；4.二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.归纳小结

二次根式的双重非负性03

问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？探究新知

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性探究新知

例4