上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷.docxVIP

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上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为.

2．函数的定义域为

3．若直线与垂直，则实数m＝．

4．已知集合，，若，则实数的取值范围是.

5．等比数列满足，，则.

6．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是.

7．二项式的展开式的常数项是．

8．已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则.

9．如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是.

??

10．已知，函数的部分图像如图所示，已知点A、为的图像与轴的交点，其中，点、分别为的图像的最高点和最低点，且，则.

11．已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为.

12．从椭圆外一点Px0,y0向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为.

??

二、单选题

13．已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（???）

A． B． C． D．

14．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（????）

A．； B．；

C．； D．.

15．已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

16．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（???）

A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题；

C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题.

三、解答题

17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.

18．已知.

(1)是否存在正数，使得对都成立？若存在，求出的一个值，若不存在，请说明理由；

(2)写出函数的一个周期，并求函数的值域.

19．2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元.

(1)设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望；

(2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率；

(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表.

年龄低于45岁

6

14

42

31

7

年龄不低于45岁

4

6

47

35

8

根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？

非常满意

满意

合计

年龄低于45岁

年龄不低于45岁

合计

附：，，，与的若干对应数值见下表：

0.25

0.05

0.005

1.323

3.841

7.879

20．已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当时，求的面积；

(3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

21．函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数.

(1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由；

(2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值；

(3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点.

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