2024_2025学年高中数学第3章导数及其应用阶段综合提升第2课导数在研究函数中的应用教师用书教案.docVIP

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第3章导数及其应用

其次课导数在探讨函数中的应用

[巩固层·学问整合]

[提升层·题型探究]

函数的单调性与导数

【例1】已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x，探讨f(x)的单调性．

[思路点拨]eq\x(f?x?的定义域)―→eq\x(求f′?x?)―→eq\x(解f′?x?0或f′?x?0)

[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝eq\f(1,x)－2ax＋(2－a)＝－eq\f(?2x＋1??ax－1?,x).

①当a≤0时，f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当a0时，由f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a).

又由f′(x)0得0xeq\f(1,a)，

由f′(x)0得xeq\f(1,a)，

∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．

综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a0时，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．

导数法求函数单调区间的一般流程

求定义域→求导数f′?x?→求f′?x?＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f′?x?在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性.

提示：在求解中留意分类探讨和数形结合思想的应用.

eq\o([跟进训练])

1．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R，试求f(

[解]∵f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a

①当－2a＝a－2，即a＝eq\f(2,3)时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增．

②当－2aa－2，即aeq\f(2,3)时，

由f′(x)0得，x－2a或xa

由f′(x)0得，－2axa

∴f(x)在(－∞，－2a)及(a－2，＋∞

在(－2a，a

③当－2aa－2，即aeq\f(2,3)时，

由f′(x)0得xa－2或x－2a

由f′(x)0得a－2x－2a

∴f(x)在(－∞，a－2)及(－2a，＋∞)上为增函数，在(a－2，－2

综上所述，当aeq\f(2,3)时，f(x)的增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)；减区间为(a－2，－2a)．

当a＝eq\f(2,3)时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．

当aeq\f(2,3)时，f(x)的增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)；减区间为(－2a，a－2)．

函数的极值、最值与导数

【例2】已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋alnx.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是微小值；

(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(3)当a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．

[解](1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f′(x)＝x－eq\f(1,x)

＝eq\f(?x＋1??x－1?,x)，

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，

当x∈(0,1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，

所以f(x)在x＝1处取得微小值，且微小值为eq\f(1,2).

(2)当a＝1时，f(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx，f′(x)＝x＋eq\f(1,x)0，

则函数f(x)在[1，e]上为增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝eq\f(1,2)，f(x)max＝f(e)＝eq\f(1,2)e2＋1.

(3)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)

＝eq\f(1,2)x2＋lnx－eq\f(2,3)x3，

则F′(x)＝x＋eq\f(1,x)－2x2＝eq\f(?1－x??1＋x＋2x2?,x)，

当x1时，F′(x)0，

故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，

又F(1)＝－eq\f(1,6)0，

所以在区间[1，＋∞)上，F(x)0恒成立．

即f(x)g(x)恒成立．

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．

函数的最值是函数的整体性质，要区分于函数的极值，求函数在闭区间上的最值，应先求开区间的极值，再与闭区间的端点值进行比较，最大的为最大值，