学年论文-数学分析七大定理的相互证明 .pdfVIP

云南大学

课题名称：数学分析七大定理的相互证明

学院：数学与统计

专业：信息与计算科学

指导教师：何清海

学生姓名：段飞龙

学生学号：20101910050

目录

摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

关键词„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

前言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

结论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

摘要：

数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、

Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但

他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。

关键词：

单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理

Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则

前言：

1

一、七大定理

定理1单调有界性定理

（1）、上确界

上确界的定义

“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。考虑一个实数集合M.如果有一个

实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。

在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。

一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。

上确界的数学定义

有界集合S，如果β满足以下条件





①对一切xS，有X，即是S的上界；





x

②对任意，存在xS，使得，即又是S的最小上界，



则称为集合S的上确界，记作supS（同理可知下确界的定义）

在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数

集必存在上确界（下确界）”。

上确界的证明

(1)每一个xX满足不等式xm;



(2)对于任何的0,存在有xX,使xM

则数称为集合X的上确界。

Msupx

（2）下确界

下确界的定义

“下确界”的概念是数学分析中最基本的概念。考虑一个实数集合M.如果有一个

实数S，使得M中任何数都大于等于S,那么就称S是M的一个下界。

在所有那些下界中如果有一个最大的下界，就称为M的下确界。

一个有界数集有无数个上界和下界，但是下确界却只有一个。

下确界的数学定义



有界集合S，如果满足以下条件





（1）对一切xS，有x，即是S的下界；



（2）对任意0，存在xS，使得x