专题03 几何体的体积与表面积（解析版）.docxVIP

专题03几何体的体积与表面积

【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.故选：C.

【名师点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）

A. B. C. D.2

【答案】B

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.

【名师点晴】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.

【命题意图】

（1）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

（2）能够在不同的情境下，计算几何体的体积和表面积及相关几何量.

（3）高考对本部分的考查以直观想象、数学运算和逻辑推理能力为主，主要结合具体几何体、三视图等

要求考生能准确想象出几何体，并通过分析条件求出几何体的体积、表面积等几何量。

【命题规律】

这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现，主要考查常见几何体的体积、表面积及基本几何量的算法．试题难度不大，多为低中档题，几何体的体积与表面积的试题多与常见几何体、三视图等相联系，考查对常见几何体的空间结构，体积与表面积的算法；考查学生分析问题和解决问题的能力．

常见的命题角度有：

（1）求常见几何体体积与表面积；

（2）几何体的折叠与展开问题；

（3）与三视图结合求几何体的几何量．

【答题模板】

解答此类题目，一般考虑如下三步：

第一步：根据题意确定几何体；

第二步：熟悉常见几何体的空间结构及体积与表面积的算法；

第三步：运用几何体的体积与表面积公式及基本几何量的关系求解.

【方法总结】

1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

2.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.

3.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.

4.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.

5.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.

【好题训练】

1．【2020河北正定高三三模】我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，故该三棱柱体积为，所以该“柱脚”的体积为．

故选：C．

【名师点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．

2．【2020四川绵阳高三质检】已知四面体ABCD，，BCD为边长为的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD垂心，则四面体ABCD的体积为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，BCD为边长为的等边三角形，因为顶点A在平面BCD的投影H是BCD垂心，所以H也为BCD中心，所以，所以，

在直角中，可得，

所以三棱锥的体积为.故选：B.

【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解